Question

如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，OB=，BF=BC。過點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)，點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO。若以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的點(diǎn)，

            ∴可設(shè)A。

            ∵四邊形OACB是平行四邊形， BF=BC，∴F 。

            ∵點(diǎn)F是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的點(diǎn)，

            ∴。

            ∴A，F 。

            ∵EF∥OB，點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴可設(shè)P。

            根據(jù)勾股定理，得OA²=，OP²=，AP²=。

當(dāng)∠POA=90°時(shí)，有AP²= OA²+ OP²，即，

∴。

            綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，。

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題，單動(dòng)點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

【解析】先根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系和平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)A，F(xiàn)的坐標(biāo)，再分別根據(jù)當(dāng)∠APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，得出P₁，P₂；當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，求出P₃；當(dāng)∠POA=90°時(shí)，求出P₄即可。