如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在x軸上，得到△DCE，此時，DE所在直線與拋物線交于第一象限的點(diǎn)F.

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
（2）求點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長.
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P使△PDF是等腰三角形.
若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

（1）   （2） （3）P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，

解析試題分析：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），那么
，解得，所以拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
（2）將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在x軸上，得到△DCE，則D的坐標(biāo)（1，0）。所以AD=1+1=2，點(diǎn)A（-1,0）、C（0，），在，是直角，AO=1，CO=，由勾股定理得，同理CD=2，所以三角形ACD是等邊三角形，；點(diǎn)A所經(jīng)過的路線是一個扇形的弧長，圓心角為，半徑為AC=2所以扇形的弧長=
（3）拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P使△PDF是等腰三角形，拋物線的對稱軸；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a），F(xiàn)的坐標(biāo)為（x,y），則P、D都在拋物線的對稱軸上; 假設(shè)△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是腰，則PD=FD，由（1）知D的坐標(biāo)（1，0），所以PD=，F(xiàn)D= ,則=，而點(diǎn)F在拋物線上，所以F的坐標(biāo)滿足的解析式，解得；當(dāng)△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是底邊，那么PF、PD是腰，所以PF=PD，則PD=，F(xiàn)的坐標(biāo)為（x,y），F(xiàn)的坐標(biāo)滿足的解析式；PF=，則=，解得a=2或a=,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，
考點(diǎn)：拋物線，等腰三角形
點(diǎn)評：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)，熟悉等腰三角形的性質(zhì)               

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖①，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．頂點(diǎn)為M，過點(diǎn)A的直線y=kx-4交y軸于點(diǎn)N．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對稱軸；
（2）試判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（3）將AN所在的直線l向上平移．平移后的直線l與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D、E（如圖②）．當(dāng)直線l平移時（包括l與直線AN重合），在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PDE是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）三點(diǎn)，
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，求sin∠ACD的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•高要市二模）已知：如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，四邊形OABC是直角梯形，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）D為OA的中點(diǎn)，動點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動，若線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分，求此時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013屆北京廣安中學(xué)初三第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，與y軸交于點(diǎn)B。

（1）求拋物線的解析式；
（2）P是y軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013學(xué)年吉林省鎮(zhèn)賚縣鎮(zhèn)賚鎮(zhèn)中學(xué)九年級下第二次綜合測試數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，與軸交于點(diǎn)B.

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且三角形PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo).

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