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2.已知,∠ABC=90°,D是直線AB上的點,AD=BC.
(1)過A作AF⊥AB截取AF=BD,連接DC,DF,CF,判斷△CDF的形狀;
(2)E是直線BC上一點為CE=BD,AE,CD相交于點P,求∠APD.

分析 (1)利用SAS證明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,即可判斷三角形的形狀;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,利用SAS證明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出∠FCD=∠APD=45°.

解答 解:(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下:
∵AF⊥AD,∠ABC=90°,
∴∠FAD=∠DBC,
在△FAD與△DBC中,
{AD=BCFAD=DBCAF=BD,
∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴FD=DC,
∴△CDF是等腰三角形,
∵△FAD≌△DBC,
∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°,
∴∠BDC+∠FDA=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形;

(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,如圖,
∵AF⊥AD,∠ABC=90°,
∴∠FAD=∠DBC,
在△FAD與△DBC中,
{AD=BCFAD=DBCAF=BD,
∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴FD=DC,
∴△CDF是等腰三角形,
∵△FAD≌△DBC,
∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°,
∴∠BDC+∠FDA=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形,
∴∠FCD=45°,
∵AF∥CE,且AF=CE,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
∴AE∥CF,
∴∠APD=∠FCD=45°.

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用,平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用,等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用.解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.

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