Question

仔細(xì)想一想，聰明的你一定能完成下列問(wèn)題．
閱讀下列材料：
∵，，，…，，
∴==．
回答下列問(wèn)題：
（1）在和項(xiàng)中第7項(xiàng)是______，第n項(xiàng)是______；
（2）你能運(yùn)用類似方法求出的值嗎？請(qǐng)你試一試；
（3）若α_n、β_n（其中n為不小于3的正整數(shù)）滿足α_n+β_n=-（2n+1），α_n•β_n=n²，請(qǐng)你運(yùn)用上述知識(shí)求的值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，是連續(xù)奇數(shù)列，
n=7時(shí)，2n-1=7，所以第7項(xiàng)是，第n項(xiàng)是；

（2）原式=（-+-+…+-）
=×（-）
=×
=；

（3）原式=+++…+
=
=（1-）
=．
分析：（1）觀察前邊式子的規(guī)律，可以看到：分母是連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)相乘．對(duì)應(yīng)的第n個(gè)式子的分母是（2n-1）（2n+1）；
（2）觀察分母的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)分母正好是兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，相差是2．所以拆開(kāi)的時(shí)候，相當(dāng)于擴(kuò)大了2倍，應(yīng)再除以2．然后運(yùn)用抵消的規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算；
（3）運(yùn)用整式乘法計(jì)算分母，發(fā)現(xiàn)：對(duì)應(yīng)的分母是n²-（2n+1）+1=n（n-2），運(yùn)用上述方法就可計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用分式的拆分進(jìn)行計(jì)算，尤其注意（3）小題綜合了上述兩種情況的規(guī)律，分別搭配計(jì)算．