Question

10．如圖，在⊙O中，AB為直徑，點B為$\widehat{CD}$的中點，直徑AB交弦CD于E，CD=2$\sqrt{5}$，AE=5．
（1）求⊙O半徑r的值；
（2）點F在直徑AB上，連接CF，當∠FCD=∠DOB時，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)垂徑定理得出E為CD的中點，再由勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）先由銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長，再分點F在線段CD的上方與下方兩種情況進行討論即可．

解答 解：（1）∵AB為直徑，點B為$\widehat{CD}$的中點，CD=2$\sqrt{5}$，
∴AB⊥CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{5}$．
在Rt△ODE中，
∵OD=r，OE=5-r，DE=$\sqrt{5}$，
∴r²=（5-r）²+（$\sqrt{5}$）²，解得r=3；

（2）∵由（1）知，OE=AE-AO=5-3=2，
∴tan∠FCE=tan∠DOB=$\frac{DE}{OE}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
在Rt△FCE中，
∵$\frac{EF}{CE}$=$\frac{EF}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴EF=$\frac{5}{2}$，
∴當點F在線段CD的上方時，AF=AE-EF=5-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$；
當點F在線段CD的下方時，AF=AE+EF=5+$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$＞AB，不合題意．
綜上所述，AF=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查的是垂徑定理，熟知垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．