Question

7．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-1，0），B（2，0），交y軸于C（0，-2），過A，C畫直線．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；
（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點(diǎn)為H．若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)線段的和差，可得AP的長，根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）分類討論：①當(dāng)H′在點(diǎn)C的下方時(shí)，根據(jù)平行線的判定，可得y_M，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；②當(dāng)H′在點(diǎn)C的上方時(shí)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可得M′點(diǎn)是CP與拋物線的交點(diǎn)，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-2），將x=0，y=-2代入，得
a（0+1）（0-2）=-2，
解得a=1．
故拋物線的解析式為y=（x+1）（x-2），即y=x²-x-2．
（2）設(shè)OP=x，PC=PA=x+1．
在Rt△POC中，由勾股定理，得
x²+2²=（x+1）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，即OP=$\frac{3}{2}$；
（3）∵△CHM∽△AOC，∠MCH=∠CAO，
如圖：
，
①當(dāng)H′在點(diǎn)C的下方時(shí)，∵∠CAO=∠MCH′，
∴MC∥AO，
∴y_M=y_C=-2，
x²-x-2=-2，解得x=0（舍去），x=1，
M（1，-2）；
②當(dāng)H′在點(diǎn)C的上方時(shí)，∠M′CH′=∠CAO，
由（2）得M′為CP與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)CP的解析式為y=kx+b，將C，P點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
CP的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-2．
聯(lián)立CP與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-x-2}\\{y=\frac{4}{3}x-2}\end{array}\right.$，
$\frac{4}{3}$x-2=x²-x-2，解得x=0（舍去）x=$\frac{7}{3}$，此時(shí)y=$\frac{10}{9}$，
M′（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）；
綜上所述：M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng)），點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，-2），（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用勾股定理得出關(guān)于x的方程是解題關(guān)鍵；①利用平行線的判定得出y_M是解題關(guān)鍵，②利用相似三角形的對應(yīng)角相等得出M′點(diǎn)是CP與拋物線的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．