Question

12．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P為斜邊AB上一點，PF⊥BC于點F，PE⊥AC于點E．若S_△APE=7，S_△PBF=2，則PC的長為（　　）

• A． 5
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{53}$
• D． 3$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°，證出四邊形PECF是矩形，得出PF=CE，證出△APE和△BPF是等腰直角三角形，得出AE=PE，BF=PF，再由三角形的面積得出PE²=14，CE²=PF²=4，由勾股定理求出PC的長即可．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵PF⊥BC于點F，PE⊥AC于點E，
∴∠PFB=∠PEA=90°，四邊形PECF是矩形，
∴△APE和△BPF是等腰直角三角形，PF=CE，∠PEC=90°，
∴AE=PE，BF=PF，
∵S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$PE²=7，S_△PBF=$\frac{1}{2}$PF•BF=$\frac{1}{2}$PF²=2，
∴PE²=14，CE²=PF²=4，
∴PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{14+4}$=3$\sqrt{2}$；
故選：B．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，運用勾股定理求出PC是解決問題的關(guān)鍵．