Question

2．如圖，Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ACB=30°，D是AB上一點（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點，請判斷△PAE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 由直角三角斜邊上的中線性質(zhì)得出PA=PC=$\frac{1}{2}$CD，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠APD=2∠ACD，同理得出∠DPE=2∠DCB，PA=PE，再證出∠APE=2∠ACB=60°，即可得出結(jié)論．

解答 解：△PAE的形狀為等邊三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD=90°，P是斜邊CD的中點，
∴PA=PC=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠ACD=∠PAC，
∴∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE=PC=$\frac{1}{2}$CD，∠DPE=2∠DCB，
∴PA=PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE=2∠ACB=2×30°=60°，
∴△PAE是等邊三角形．

點評 本題考查了等邊三角形的判定、直角三角斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握等邊三角形的判定方法，由直角三角斜邊上的中線性質(zhì)得出PA=PC，PE=PC是解決問題的關(guān)鍵．