Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接OF．
（1）求證：OD∥BE；
（2）猜想：OF與CD有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（3）連接AE、OC分別交OD、BE于G、H，連接GH，若OD=6，OC=8，求GH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理由AM、DC是⊙O的切線得DA=DE，OD平分∠ADE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得OD⊥AE，再根據(jù)切線的性質(zhì)由AB為⊙O的直徑得到∠AEB=90°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到OD∥BE；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AM，OB⊥BN，則AM∥BN，即四邊形ABCD為直角梯形，易得OF為梯形ABCD的中位線，根據(jù)梯形的中位線性質(zhì)有OF=

1

2

（AD+BC），再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CB=CE，DA=DE，所以AD+BC=DE+CE=CD，即可得到=

1

2

CD；
（3）連接OE，如圖，在（1）中以證明OD垂直平分AE，即點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，同理得到點(diǎn)H為BE的中點(diǎn)，于是得到GH為△AEB的中位線，所以GH=

1

2

AB，再判斷△DOC為直角三角形，∠COD=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD=10，利用面積計(jì)算出OE=

24

5

，則GH=

1

2

AB=OE=

24

5

．

解答：（1）證明：∵AM、DC是⊙O的切線，
∴DA=DE，OD平分∠ADE，
∴OD⊥AE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AE，
∴OD∥BE；
（2）解：OF=

1

2

CD．理由如下：
∵AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，
∴OA⊥AM，OB⊥BN，
∴AM∥BN，
∴四邊形ABCD為直角梯形，
∵OA=OB，
∴OF為梯形ABCD的中位線，
∴OF=

1

2

（AD+BC），
∵BN、CD是⊙O的切線，
∴CB=CE，
∴AD+BC=DE+CE=CD，
∴OF=

1

2

CD；
（3）解：連接OE，如圖，OD垂直平分AE，
∴點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，
同理得到點(diǎn)H為BE的中點(diǎn)，
∴GH為△AEB的中位線，
∴GH=

1

2

AB，
∵OF=

1

2

CD，CF=DF，即OF=DF=CF，
∴△DOC為直角三角形，∠COD=90°，
在Rt△COD中，∵OD=6，OC=8，
∴CD=

OD2+OC2

=10，
∵CD切⊙O于E，
∴OE⊥CD，
∴

1

2

OE•CD=

1

2

OC•OD，
∴OE=

6×8

10

=

24

5

，
∴AB=2OE=

48

5

，
∴GH=

1

2

AB=

24

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、等腰三角形的性質(zhì)和三角形與梯形的中位線定理；會(huì)運(yùn)用勾股定理和三角形面積公式進(jìn)行幾何計(jì)算．