【題目】(12分)如圖,以ABCBC邊上一點O為圓心的圓,經(jīng)過A、B兩點,且與BC邊交于點E,DBE的下半圓弧的中點,連接ADBCFAC=FC

(1)求證:AC是⊙O的切線;

(2)已知圓的半徑R=5,EF=3,求DF的長.

【答案】(1)見解析;(2

【解析】試題分析:(1)連結(jié)OAOD,如圖,根據(jù)垂徑定理的推理,由DBE的下半圓弧的中點得到OD⊥BE,則∠D+∠DFO=90°,再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA,根據(jù)對頂角相等得∠CFA=∠DFO,所以∠CAF=∠DFO,加上∠OAD=∠ODF,則∠OAD+∠CAF=90°,于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC⊙O的切線;

2)由于圓的半徑R=5,EF=3,則OF=2,然后在Rt△ODF中利用勾股定理計算DF的長.

試題解析:(1)連結(jié)OA、OD,如圖,

∵DBE的下半圓弧的中點,

∴OD⊥BE,

∴∠D+∠DFO=90°,

∵AC=FC

∴∠CAF=∠CFA,

∵∠CFA=∠DFO

∴∠CAF=∠DFO,

OA=OD,

∴∠OAD=∠ODF

∴∠OAD+∠CAF=90°,即∠OAC=90°,

∴OA⊥AC,

∴AC⊙O的切線;

2圓的半徑R=5,EF=3

∴OF=2,

Rt△ODF中,∵OD=5,OF=2,

DF=

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