【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣5,0),B(1,0),C(0,)三點

(1)填空:拋物線的解析式是  

(2)①在拋物線的對稱軸上有一點P,使PB+PC的值最小,求點P的坐標;

②點Mx軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以B,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x -2x+ ;(2)①點P的坐標是(﹣2,);②存在 ,滿足題目條件的點N共有三個,分別為(﹣4,),(﹣2+,﹣)和(﹣2﹣,﹣).

.

【解析】

(1)設拋物線的解析式為y=ax+5)(x1),再把C0,)代入求出a的值,整理即可求得拋物線的解析式;(2)連接AC交拋物線的對稱軸于點P,則P點即為所求,用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式,由此即可求得點P的坐標;(3)分點Nx軸下方或上方兩種情況求點N的坐標即可.

1)設拋物線的解析式為:y=a(x+5)(x﹣1),

把(0,)代入得:﹣5a=,a=﹣,

∴拋物線的解析式是:y=﹣x -2x+

故答案為: y=﹣x -2x+;

(2)①由題意知,點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點A,如圖1,連接AC交拋物線的對稱軸于點P,則P點即為所求.

設直線AC的解析式為:y=kx+b,由題意,得,解得,

∴直線AC的解析式為:y=x+,

∵拋物線:y=﹣=﹣(x﹣2)2+,

∴對稱軸是x=﹣2,

∴當x=﹣2時,y=x+=,

∴點P的坐標是(﹣2,).

②存在

( i)當存在的點Nx軸的上方時,如圖2所示,

∵四邊形BCNM1或四邊形CNBM2是平行四邊形,

CNx軸,

∴點C與點N關于對稱軸x=﹣2對稱,

C點的坐標為(0,),

∴點N的坐標為(﹣4,

( II)當存在的點Nx軸下方時,如圖3所示,作NHx軸于點H,

∵四邊形BCMN是平行四邊形,

BC=MN,NMH=CBO,

RtCBORtNMH,

NH=OC.

∵點C的坐標為(0,),

NH=,即N點的縱坐標為﹣,

=﹣x2+4x﹣10=0,

解得(就是點N1),,

∴點N的坐標為(﹣2+,﹣)和(﹣2﹣,﹣).

綜上所述,滿足題目條件的點N共有三個,分別為(﹣4,),(﹣2+,﹣)和(﹣2﹣,﹣).

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