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18.將矩形紙片ABCD如圖折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,折痕為GH.
(1)試說明:AG=GF;
(2)試說明:四邊形DGBH是菱形;
(1)若AB=12,BC=16.求GH的長.

分析 (1)欲證明AG=GF,只要證明ABG≌△FDG即可.
(2)先證明四邊形DGBH是平行四邊形,再證明是菱形.
(3)作GE⊥BC于E,設(shè)AG=x,則DG=BG=16-x,在RT△ABG中利用勾股定理求出x,再在RT△GHE中利用勾股定理即可解決問題.

解答 (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,GH是折痕,
∴∠A=∠F=90°,AB=DF
在△ABG和△FDG中,
{A=FAGB=FGDAB=DF,
∴△ABG≌△FDG,
∴AG=GF.
(2)證明:由折疊知BH=DH,∠BHG=∠DHG,
∵AD∥BC,
∴∠DGH=∠BHG,
∴∠DHG=∠DGH,
∴DG=DH,
∵DG平行且等于BH,
∴四邊形DGBH為平行四邊形,
∵BH=DH,
∴四邊形DGBH是菱形.
(3)解:作GE⊥BC于E,設(shè)AG=x,則DG=BG=16-x,
在RT△ABG中,AB2+AG2=BG2,列方程得:122+x2=(16-x)2
解得:x=3.5,
∴BE=AG=3.5,HE=BH-BE=12.5-3.5=9,
在RT△GHE中,∵GH2=GE2+EH2=122+92=225,
∴GH=15.

點(diǎn)評 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法以及菱形的判定方法,學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想,用方程的思想思考問題,屬于中考常考題型.

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簡單應(yīng)用:
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