Question

閱讀以下材料：對(duì)于三個(gè)數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{-1，2，3}=

-1+2+3

3

=

4

3

；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2a}=

a(a≤-1) -1(a＞-1)

解決下列問題：
（1）填空：min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}=

 

；
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為

 

≤x≤

 

．
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；
②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么

 

（填a，b，c的大小關(guān)系）”
③運(yùn)用②的結(jié)論，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}
，則x+y=

 

．
（3）在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x+1，y=（x-1）²，y=2-x的圖象（不需列表描點(diǎn)）．通過觀察圖象，
填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）因?yàn)橛胢in（a，b，c）表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，所以min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}就是括號(hào)內(nèi)的三個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)，由

2

＞

3	2

＞（

2

）⁰，所以得出min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}=（

2

）⁰=1；由min{2，2x+2，4-2x}=2，得出2x+2≥2，且4-2x≥2，兩個(gè)式子同時(shí)成立，據(jù)此即可求得x的范圍；
（2）①M(fèi){2，x+1，2x}=

2+x+1+2x

3

=x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，則x+1是2、x+1、2x中最小的一個(gè)，即：x+1≤2且x+1≤2x，據(jù)此即可求得x的值；
②根據(jù)①可以得到結(jié)論：當(dāng)三個(gè)數(shù)的平均數(shù)等于三個(gè)數(shù)中的最小的數(shù)，則這幾個(gè)數(shù)相等，據(jù)此即可寫出；
③根據(jù)結(jié)論，三個(gè)數(shù)相等，即可求得x，y的值，從而求得x+y的值；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的作法作出圖象，然后根據(jù)min的定義解答即可．

解答：解：（1）min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}=（

2

）⁰=1，
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為0≤x≤1；

（2）①∵M(jìn){2，x+1，2x}=

2+x+1+2x

3

=x+1，
∴2x-（x+1）=x-1．
當(dāng)x≥1時(shí)，則min{2，x+1，2x}=2，則x+1=2，x=1．
當(dāng)x＜1時(shí)，則min{2，x+1，2x}=2x，則x+1=2x，x=1（舍去）．
綜上所述：x=1．
②a=b=c．理由如下：
∵M(jìn){a，b，c}=

a+b+c

3

，
如果min{a，b，c}=c，則a≥c，b≥c．
則有

a+b+c

3

=c，即a+b-2c=0，
∴（a-c）+（b-c）=0．
又∵a-c≥0，b-c≥0，
∴a-c=0且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情況同理可證，故a=b=c．
③由②的結(jié)論，若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，
則2x+y+2=x+2y=2x-y，解得x=-3，y=-1，
所以x+y=-3-1=-4；

（3）作出圖象，由圖可知min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值為1．
故答案為1，0，1；a=b=c；-4；1．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，比較大小以及利用已知提供信息得出函數(shù)值的方法，此題綜合性較強(qiáng)，讀懂題目信息并理解新定義“M”與“min”的意義是解題的關(guān)鍵．