Question

如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，AP=1，BP=2，CP=3，BP⊥BP′，BP=BP′
（1）求證：∠APB=∠CP′B，PA=P′C；
（2）求∠APB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及BP⊥BP′求出△ABP≌△CBP′即可；
（2）連接PP′，由已知條件可求出△BPP′是等腰直角三角形，可知∠BP′P=∠BPP′=45°，根據(jù)勾股定理可求出PP′的長，由勾股定理的逆定理可判斷出△PCP′的形狀，進而可求出∠PP′C及∠APB的度數(shù)．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BP⊥BP′，
∴AB=CB，∠ABC=∠PBP′=90°，（2分）
∴∠ABC-∠PBC=∠PBP′-∠PBC（4分）
即∠ABP=∠CBP′，（4分）
又∵BP=BP′，
∴△ABP≌△CBP′，（5分）
∴∠APB=∠CP′B，PA=P′C；（6分）

（2）連接PP′，（7分）
∵BP⊥BP′，BP=BP′=2，
∴∠BP′P=∠BPP′=45°，且P′P=2

2

，（8分）
∵P′C=PA=1，PC=3，PP′=2

2

，
∴（PC）²=P′C²+PP′²，滿足勾股定理的逆定理，（10分）
∴∠PP′C=90°，（11分）
∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．（12分）

點評：本題涉及到勾股定理、全等三角形的判定定理、勾股定理的逆定理及直角三角形的性質(zhì)，涉及面較廣．但難度適中．