Question

如圖，△ABC為正三角形，面積為S．D₁，E₁，F(xiàn)₁分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，可得△D₁E₁F₁，則△D₁E₁F₁的面積S₁=    ；如，D₂，E₂，F(xiàn)₂分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₂=BE₂=CF₂=AB，則△D₂E₂F₂的面積S₂=    ；按照這樣的思路探索下去，D_n，E_n，F(xiàn)_n分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且
AD_n=BE_n=CF_n=AB，則S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用邊角邊證明△AD₁F₁、△BD₁E₁、△CE₁F₁全等，再利用正弦定理的方法表示出△ABC的面積與△AD₁F₁的面積，然后根據(jù)△D₁E₁F₁的面積等于△ABC的面積減去△AD₁F₁的面積的3倍列式進(jìn)行計(jì)算即可；
先證明四周的三個(gè)三角形全等，然后用S表示出△AD₂F₂的面積，然后與第一問(wèn)同理求解即可；
根據(jù)規(guī)律寫出即可．
解答：解：∵△ABC為正三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD₁=BE₁=CF₁=AB，
∴BD₁=CE₁=AF₁=AB，
∴△AD₁F₁≌△BD₁E₁≌△CE₁F₁，
設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，
則S=a²sin60°，
△AD₁F₁的面積=×a•a•sin60°=S，
∴△D₁E₁F₁的面積S₁=S-3×S=S；

同理，AD₂=BE₂=CF₂=AB時(shí)，
BD₂=CE₂=AF₂=AB，
△AD₂F₂的面積S₂=×a•a•sin60°=S，
△D₂E₂F₂的面積S₂=S-3×S=S；

AD_n=BE_n=CF_n=AB時(shí)，
BD_n=CE_n=AF_n=AB，
△AD_nF_n的面積=×a•a•sin60°=S，
△D_nE_nF_n的面積S_n=S-3×S=S．
故答案為：S，S，S．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，利用正弦定理的方法表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵．