Question

如圖，以正方形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，以頂點(diǎn)C為圓心、邊CB為半徑作

BD

，E為BC的延長線上一點(diǎn)，且CD、CE的長恰為方程x²-2（

3

+1）x+4

3

=0的兩根，其中CD＜CE．連接DE交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求DF的長；
（2）求圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)CD、CE的長恰為方程x²-2（

3

+1）x+4

3

=0的兩根，求出CD、CE的長；再根據(jù)CD、CE的長求出∠CDE的正切值，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)；然后利用直角三角形的特點(diǎn)求出DF的長．
（2）由圖形可知S_陰影=（S_扇形BCD-

1

2

S⊙O）+（S_△DCE-S_△DOF-S_扇形COF），然后根據(jù)面積計(jì)算公式計(jì)算即可．

解答：解：（1）連接CF，
∵CD、CE的長為方程x²-2（

3

+1）x+4

3

=0的兩根；
∴CE=2

3

，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=

CE

CD

=

3

；
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DFC=90°；
∴DF=

1

2

DC=

1

2

×2=1．

（2）連接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等邊三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S_△DOF=

3

4

×1=

3

4

，S_扇形FOC=

120π×12

360

=

π

3

，
S_陰影FEC=S_△ECD-S_△DOF-S_扇形FOC=

1

2

×2×2

3

-

3

4

-

π

3

=

7 3

4

-

π

3

，
S_陰影DBC=S_扇形BCD-S_半圓O=

90π×22

360

-

1

2

π×1=

1

2

π，
∴S_陰影=S_陰影FCE+S_陰影DBC=

7 3

4

-

π

3

+

1

2

π，
=

7 3

4

+

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算方法等知識．求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差來求．