18．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，DF⊥AE，垂足為F．
（1）求證：△ADF∽△EAB．
（2）若AB=4，AD=6，求DF的長．

分析 （1）由矩形的性質得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，由平行線的性質得出∠DAF=∠AEB，證出∠AFD=∠B，即可得出結論；
（2）由勾股定理求出AE，由相似三角形的性質得出對應邊成比例，即可求出DF的長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ADF∽△EAB．
（2）解：∵BC=AD=6，E是BC邊的中點，
∴BE=3，
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由（1）得：△ADF∽△EAB，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{AD}{AE}$，
即$\frac{DF}{4}=\frac{6}{5}$，
解得：DF=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理、平行線的性質；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．計算
（1）$\sqrt{（-6）^{2}}$-|$\sqrt{3}$-3|+$\root{3}{-27}$                  
（2）$\sqrt{24}$×$\sqrt{\frac{1}{3}}$-4×$\sqrt{\frac{1}{8}}$×（1-$\sqrt{2}$）0．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知四邊形ABCD中，AB=AD，CA平分△BCD，AE⊥CD交CD延長線于E．請問線段BC，CE及DE間有何關系？說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．兩個形狀大小完全一樣的兩個Rt△ACB和Rt△DCE如圖放置，設兩直角邊BC、CE的夾角∠ECB=α，∠A=β．
（1）求證：EM=BN；
（2）當α、β滿足什么關系時，△AMC是等腰三角形．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．如圖，在⊙0中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，點P為弧AC上一點，且∠BPC=60°．若BP=6，PC=2．求線段AP的長度．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x2+mx+n與直線y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長
BE交AC于點F．
（1）證明：BE2=AE•DE；
（2）若$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{DC}$=1，$\frac{AF}{FC}$=2；并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．如圖，銳角△ABC的外接圓O．在BC邊上取兩點D、E使∠BAD=∠CAE，EM⊥AB于點M，EN⊥AC于點N，AD的延長線交⊙O于點P．求證：AP•MN=AB•AC•sin∠BAC．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．若拋物線y=x2+（m-1）x+（m+3）的頂點在坐標軸上，則m的值有（　　）
A．1個B．2個C．3個D．4個

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