Question

如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CB-BA向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）點(diǎn)P將要運(yùn)行路徑AD的長(zhǎng)度為

 

；點(diǎn)Q將要運(yùn)行的路徑折線CB-BA的長(zhǎng)度為

 

．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量t的取范圍；
②求當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
（3）如圖2，若點(diǎn)Q的速度為每秒a個(gè)單位長(zhǎng)（a≤

5

4

），當(dāng)t=4秒時(shí)：
①此時(shí)點(diǎn)Q是在邊CB上，還是在邊BA上呢？
②△APQ是等腰三角形，請(qǐng)求出a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，再根據(jù)勾股定理即可求出菱形的邊長(zhǎng)，問題得到答案；
（2）①當(dāng)

5

2

≤t＜5時(shí)，點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)，由題意，得AP=t，AQ=10-2t，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出S關(guān)于t的關(guān)系式，②根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答即可；
（3）①點(diǎn)Q是在邊CB上，②判斷出等腰三角形的兩腰長(zhǎng)，過點(diǎn)Q作QM⊥AP，垂足為點(diǎn)M，QM交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，進(jìn)而可得出a的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OD=3，所以AD=5．
∴點(diǎn)Q將要運(yùn)行的路徑折線CB-BA的長(zhǎng)度為10．
故答案為：5；10．

（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，5≤2t＜10，即：

5

2

≤t＜5時(shí)，
如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE．
由題意可得BE=

24

5

，AP=t，AQ=10-2t．

∴△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

，
∴QG=

48

5

-

48t

25

        
∴S=

1

2

AP•QG，
即S=-

24

25

t²+

24

5

t （

5

2

≤t＜5）．
②∵S=-

24

25

t²+

24

5

t．
-

24

25

＜0，
∴S有最大值．
S=-

24

25

t2+

24

5

t=-

24

25

(t-

5

2

)2+6
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S的最大值為6． 

（3）①∵a≤

5

4

，則4a≤5，
∴點(diǎn)Q在CB上，
如圖2，作QM⊥AD于M，QM交AC于點(diǎn)F，


則QM為菱形的高．
由前面可知，QM=4.8
而當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)行到點(diǎn)M時(shí)，QM最小，
如圖3，
所以PQ≥QM，
∵t=4時(shí)，PA=4，∴QM＞PA．
∴PQ≥MQ＞PA，類似的AQ＞MQ＞PA，
∴QA=QP，△APQ是等腰三角形．
②∵QM⊥AP，
∴AM=

1

2

AP=2．由△AMF∽△AOD，
得，

FM

OD

=

AM

OA

而AM=2，OD=3，OA=4，
∴FM=

3

2

，
∴QF=MQ-FM=

33

10

．
由△AMF∽△CQF，

CQ

AM

=

QF

FM

，而QF=

33

10

，F(xiàn)M=

3

2

，AM=2．
∴CQ=

22

5

，
而當(dāng)t=4時(shí)，CQ=4a，
所以4a=

22

5

，解得a=

11

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．