Question

已知拋物線y=

1

2

（x-2）²向左平移1個單位，再向下平移

9

2

個單位．
（1）求平移后的拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸交于A，與y軸交于C，點P為拋物線上一點，PC交x軸于E，若AE=CE，求直線CP的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）拋物線的平移，實際上就是頂點的平移，先求出原拋物線的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)平移規(guī)律，推出新拋物線的頂點坐標(biāo)，根據(jù)頂點式可求新拋物線的解析式．
（2）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征得到C點坐標(biāo)為（0，-4），點坐標(biāo)為（-2，0）或（4，0），設(shè)E點坐標(biāo)為（t，0），分類討論：當(dāng)A點坐標(biāo)為（-2，0），利用兩點間的距離公式得（t+2）²=t²+4²，解得t=3，則E點坐標(biāo)為（3，0），再利用待定系數(shù)法求直線PC的解析式；當(dāng)A點坐標(biāo)為（4，0），同理可得E點坐標(biāo)為（0，0），則直線PC為y軸，而它不屬于函數(shù)圖象．

解答：解：（1）∵y=

1

2

（x-2）²的頂點坐標(biāo)為（2，0），
∴把拋物線向左平移1個單位，再向下平移

9

2

個單位，得新拋物線頂點坐標(biāo)為（1，-

9

2

），
∵平移不改變拋物線的二次項系數(shù)，
∴平移后的拋物線的解析式是y=

1

2

（x-1）²-

9

2

，即y=

1

2

x²-x-4．

（2）解：把x=0代入y=

1

2

x²-x-4．
y=-4，則C點坐標(biāo)為（0，-4），
把y=0代入，得y=

1

2

x²-x-4．
把y=0代入，得

1

2

x²-x-4=0，
解得x₁=-2，x₂=4，則A點坐標(biāo)為（-2，0）或（4，0），
設(shè)E點坐標(biāo)為（t，0），
當(dāng)A點坐標(biāo)為（-2，0），
∵AE=CE，
∴（t+2）²=t²+4²，解得t=3，
∴E點坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
把E（3，0）、C（0，-4）代入得

3k+b=0 b=-4

，解得

k= 4 3 b=-4

，
∴直線PC的解析式為y=

4

3

x-4；
當(dāng)A點坐標(biāo)為（4，0），
∵AE=CE，
∴（t-4）²=t²+4²，解得t=0，
∴E點坐標(biāo)為（0，0），
∴直線PC為y軸，它不屬于函數(shù)圖象，
∴直線CP的解析式為y=

4

3

x-4．

點評：本題考查了拋物線的平移變換．關(guān)鍵是將拋物線的平移轉(zhuǎn)化為頂點的平移，運(yùn)用頂點式求拋物線解析式．二次函數(shù)的交點式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（x₁，0）、（x₂，0）．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．