如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是BC上的一個動點(diǎn),連接DE,交AC于點(diǎn)F.
(1)如圖①,當(dāng)時,求的值;
(2)如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時,求證:AF=OA;
(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時,過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,求證:CG=BG.
解:(1)∵,∴。
∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AD=BC。∴△CEF∽△ADF。
∴!!。
(2)證明:∵DE平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF。
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線.∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD。
又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF,∴∠ADF=∠AFD!郃D=AF。
在Rt△AOD中,根據(jù)勾股定理得:,∴AF=OA。
(3)證明:連接OE,
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn),
∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)。
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴OE是△BCD的中位線。
∴OE∥CD,OE=CD!唷鱋FE∽△CFD。
∴!。
又∵FG⊥BC,CD⊥BC,∴FG∥CD。∴△EGF∽△ECD!。
在Rt△FGC中,∵∠GCF=45°,∴CG=GF。
又∵CD=BC,∴!!郈G=BG。
【解析】
試題分析:(1)利用相似三角形的性質(zhì)求得EF于DF的比值,依據(jù)△CEF和△CDF同高,則面積的比就是EF與DF的比值,據(jù)此即可求解。
(2)利用角之間的關(guān)系到證得∠ADF=∠AFD,可以證得AD=AF,在Rt△AOD中,利用勾股定理可以證得。
(3)連接OE,易證OE是△BCD的中位線,然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形,易證△EGF∽△ECD,利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得!
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