Question

2．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是等腰AB上的一點，且AD=2DB，DF∥BC，E為DB的中點，若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為15．

Answer 1

分析 過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，根據(jù)題意設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x，由DG∥EF，利用平行線分線段成比例求FG，由DF∥BC得△ADF∽△ABC，利用相似比求DF，同時可得∠DFG=∠C，易證Rt△DFG∽Rt△ACH，利用相似比求x，在Rt△ABH中，用勾股定理求AH，計算△ABC的面積，由△ADF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求△ADF的面積，作差求四邊形DBCF的面積．

解答 解：如圖，過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，
∵E為BD的中點，且AD=2DB，
∴可設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x，
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，
$\frac{AE}{AF}=\frac{DE}{FG}$，
即$\frac{5x}{4x}=\frac{x}{FG}$，
解得FG=$\frac{4}{5}$x，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{DF}{6}=\frac{4x}{6x}$，
解得DF=4，
又∵DF∥BC，
∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{FG}{CH}$，
即$\frac{4}{6x}=\frac{\frac{4x}{5}}{3}$
解得x²=2.5，
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=9，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$×6×9=27，
又∵△ADF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{S△ABC}$=$\frac{4}{9}$，
S_△ADF=$\frac{4}{9}$×27=12，
∴S_{四邊形DBCF}=S_△ABC-S_△ADF=27-12=15，
故答案為：15．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似比解題．