Question

如圖，拋物線y=-

3

8

x²-

3

4

x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）∠ACB是直角嗎？寫(xiě)出你的判斷理由；
（3）以AB為直徑的圓與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E，求過(guò)A，E，B三點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）令y=0，求出x的值，即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）分別求出AC、BC、AB的長(zhǎng)度，判斷是否符合勾股定理，即可判斷∠ACB是否為直角；
（3）根據(jù)題意作出圓，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出過(guò)A，E，B三點(diǎn)的拋物線的解析式．

解答：解：（1）令y=0，
則-

3

8

x²-

3

4

x+3=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（4，0）；

（2）令x=0，
解得：y=3，
即點(diǎn)C（0，3），
則OC=3，
∵OA=4，OB=2，
∴AC=

OA2+OC2

=5，BC=

OC2+OB2

=

13

，
∴AC²+BC²=25+13=38，
∵AB²=6²=36≠AC²+BC²，
∴∠ACB不是直角；

（3）由題意得，M（-1，0），ME=3，
則OE=

ME2-OM2

=2

2

，
即點(diǎn)E（0，-2

2

），
設(shè)過(guò)A，E，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有

c=-2 2 16a-4b+c=0 4a+2b+c=0

，
解得：

a= 2 4 b= 2 2 c=-2 2

，
即過(guò)A，E，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=

2

4

x²+

2

2

x-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．