Question

【題目】如圖1，拋物線C：y＝x2經過變換可得到拋物線C1：y1＝a1x（x﹣b1），C1與x軸的正半軸交于點A，且其對稱軸分別交拋物線C、C1于點B1、D1．此時四邊形OB1A1D1恰為正方形：按上述類似方法，如圖2，拋物線C1：y1＝a1x（x﹣b1）經過變換可得到拋物線C2：y2＝a2x（x﹣b2），C2與x軸的正半軸交于點A2，且其對稱軸分別交拋物線C1、C2于點B2、D2．此時四邊形OB2A2D2也恰為正方形：按上述類似方法，如圖3，可得到拋物線C3：y3＝a3x（x﹣b3）與正方形OB3A3D3，請?zhí)骄恳韵聠栴}：

（1）填空：a1＝　 ，b1＝　 ；

（2）求出C2與C3的解析式；

（3）按上述類似方法，可得到拋物線n：yn＝anx（x﹣bn）與正方形OBnAnDn（n≥1）

①請用含n的代數(shù)式直接表示出n的解析式；

②當x取任意不為0的實數(shù)時，試比較y2018與y2019的函數(shù)值的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）y2＝x2﹣2x，y3＝x2﹣2x；（3）①yn＝x2﹣2x（n≥1），②當x≠0時，y2018＞y2019．

【解析】

（1）求與x軸交點A1坐標，根據(jù)正方形對角線性質表示出B1的坐標，代入對應的解析式即可求出對應的b1的值，寫出D1的坐標，代入y1的解析式中可求得a1的值；

（2）求與x軸交點A2坐標，根據(jù)正方形對角線性質表示出B2的坐標，代入對應的解析式即可求出對應的b2的值，寫出D2的坐標，代入y2的解析式中可求得a2的值，寫出拋物線C2的解析式；再利用相同的方法求拋物線C3的解析式；

（3）①根據(jù)圖形變換后二次項系數(shù)不變得出an＝a1＝1，由B1坐標（1，1）、B2坐標（3，3）、B3坐標（7，7）得Bn坐標（2n﹣1，2n﹣1），則bn＝2（2n﹣1）＝2n+1﹣2（n≥1），寫出拋物線n解析式．

②先求拋物線C2018和拋物線C2019的交點為（0，0），在交點的兩側觀察圖形得出y2018與y2019的函數(shù)值的大�。�

（1）y1＝0時，a1x（x﹣b1）＝0，

x1＝0，x2＝b1，

∴A1（b1，0），

由正方形OB1A1D1得：OA1＝B1D1＝b1，

∴B1（，），D1（，），

∵B1在拋物線c上，則＝（）2，

b1（b1﹣2）＝0，

b1＝0（不符合題意），b1＝2，

∴D1（1，﹣1），

把D1（1，﹣1）代入y1＝a1x（x﹣b1）中得：﹣1＝﹣a1，

∴a1＝1，

故答案為：1，2；

（2）y2＝0時，a2x（x﹣b2）＝0，

x1＝0，x2＝b2，

∴A2（b2，0），

由正方形OB2A2D2得：OA2＝B2D2＝b2，

∴B2（，），

∵B2在拋物線c1上，則＝（）2﹣2×，

b2（b2﹣6）＝0，

b2＝0（不符合題意），b2＝6，

∴D2（3，﹣3），

把D2（3，﹣3）代入C2的解析式：﹣3＝3a2（3﹣6），a2＝，

∴C2的解析式：y2＝x（x﹣6）＝x2﹣2x，

y3＝0時，a3x（x﹣b3）＝0，

x1＝0，x2＝b3，

∴A3（b3，0），

由正方形OB3A3D3得：OA3＝B3D3＝b3，

∴B3（，），

∵B3在拋物線C2上，則＝（）2﹣2×，

b3（b3﹣18）＝0，

b3＝0（不符合題意），b3＝18，

∴D3（9，﹣9），

把D3（9，﹣9）代入C3的解析式：﹣9＝9a3（9﹣18），a3＝，

∴C3的解析式：y3＝x（x﹣18）＝x2﹣2x；

（3）①n的解析式：yn＝x2﹣2x（n≥1）．

②由上題可得：

拋物線C2018的解析式為：y2018＝x2﹣2x，

拋物線C2019的解析式為：y2019＝x2﹣2x，

∴兩拋物線的交點為（0，0）；

如圖4，由圖象得：當x≠0時，y2018＞y2019．