Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DO-OC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線AD-DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫(xiě)出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,勾股定理,三角形中位線定理,矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）可證△DPN∽△DQB，從而有

DP

DQ

=

PN

QB

，即可求出t的值．
（2）只需考慮兩個(gè)臨界位置（①M(fèi)N經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，②點(diǎn)P與點(diǎn)O重合）下t的值，就可得到點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．
（3）根據(jù)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形形狀不同分成三類，如圖4、圖5、圖6，然后運(yùn)用三角形相似、銳角三角函數(shù)等知識(shí)就可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）由于點(diǎn)P在折線AD-DO-OC運(yùn)動(dòng)，可分點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)P在DO上，點(diǎn)P在OC上三種情況進(jìn)行討論，然后運(yùn)用三角形相似等知識(shí)就可求出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，如圖1．
∵四邊形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴

DP

DQ

=

PN

QB

．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3-t，QB=AB=4，
∴

3-t

3

=

t

4

．
∴t=

12

7

．
∴當(dāng)t=

12

7

時(shí)，點(diǎn)N落在BD上．

（2）①如圖2，
則有QM=QP=t，MB=4-t．
∵四邊形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，
∴QM=BM．
∴t=4-t．
∴t=2．
②如圖3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴DB=5．
∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，
∴DO=

5

2

．
∴1×t=AD+DO=3+

5

2

．
∴t=

11

2

．
∴當(dāng)點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍是2＜t＜

11

2

．

（3）①當(dāng)0＜t≤

12

7

時(shí)，如圖4．
S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．
②當(dāng)

12

7

＜t≤3時(shí)，如圖5，
∵tan∠ADB=

PG

DP

=

AB

AD

，
∴

PG

3-t

=

4

3

．
∴PG=4-

4

3

t．
∴GN=PN-PG=t-（4-

4

3

t）=

7t

3

-4．
∵tan∠NFG=tan∠ADB=

4

3

，
∴

GN

NF

=

4

3

．
∴NF=

3

4

GN=

3

4

（

7t

3

-4）=

7

4

t-3．
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△GNF
=t²-

1

2

×（

7t

3

-4）×（

7

4

t-3）
=-

25

24

t²+7t-6．
③當(dāng)3＜t≤

11

2

時(shí)，如圖6，
∵四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形．
∴∠PQM=∠DAB=90°．
∴PQ∥AD．
∴△BQP∽△BAD．
∴

BP

BD

=

BQ

BA

=

PQ

AD

．
∵BP=8-t，BD=5，BA=4，AD=3，
∴

8-t

5

=

BQ

4

=

PQ

3

．
∴BQ=

4(8-t)

5

，PQ=

3(8-t)

5

．
∴QM=PQ=

3(8-t)

5

．
∴BM=BQ-QM=

8-t

5

．
∵tan∠ABD=

FM

BM

=

AD

AB

=

3

4

，
∴FM=

3

4

BM=

3(8-t)

20

．
∴S=S_梯形PQMF=

1

2

（PQ+FM）•QM
=

1

2

[

3(8-t)

5

+

3(8-t)

20

]•

3(8-t)

5

=

9

40

（8-t）²
=

9

40

t²-

18

5

t+

72

5

．
綜上所述：當(dāng)0＜t≤

12

7

時(shí)，S=t²．
當(dāng)

12

7

＜t≤3時(shí)，S=-

25

24

t²+7t-6．
當(dāng)3＜t≤

11

2

時(shí)，S=

9

40

t²-

18

5

t+

72

5

．

（4）設(shè)直線DN與BC交于點(diǎn)E，
∵直線DN平分△BCD面積，
∴BE=CE=

3

2

．
①點(diǎn)P在AD上，過(guò)點(diǎn)E作EH∥PN交AD于點(diǎn)H，如圖7，
則有△DPN∽△DHE．
∴

DP

DH

=

PN

EH

．
∵PN=PA=t，DP=3-t，DH=CE=

3

2

，EH=AB=4，
∴

3-t

3 2

=

t

4

．
解得；t=

24

11

．
②點(diǎn)P在DO上，連接OE，如圖8，
則有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∴

DP

DO

=

PN

OE

．
∵DP=t-3，DO=

5

2

，OE=2，
∴PN=

4

5

（t-3）．
∵PQ=

3

5

（8-t），PN=PQ，
∴

4

5

（t-3）=

3

5

（8-t）．
解得：t=

36

7

．
③點(diǎn)P在OC上，設(shè)DE與OC交于點(diǎn)S，連接OE，交PQ于點(diǎn)R，如圖9，
則有OE=2，OE∥DC．
∴△DSC∽△ESO．
∴

SC

SO

=

DC

OE

=2．
∴SC=2SO．
∵OC=

5

2

，
∴SO=

OC

3

=

5

6

．
∵PN∥AB∥DC∥OE，
∴△SPN∽△SOE．
∴

SP

SO

=

PN

OE

．
∵SP=3+

5

2

+

5

6

-t=

19

3

-t，SO=

5

6

，OE=2，
∴PN=

76

5

-

12t

5

．
∵PR∥MN∥BC，
∴△ORP∽△OEC．
∴

OP

OC

=

PR

EC

．
∵OP=t-

11

2

，OC=

5

2

，EC=

3

2

，
∴PR=

3t

5

-

33

10

．
∵QR=BE=

3

2

，
∴PQ=PR+QR=

3t

5

-

9

5

．
∵PN=PQ，
∴

76

5

-

12t

5

=

3t

5

-

9

5

．
解得：t=

17

3

．
綜上所述：當(dāng)直線DN平分△BCD面積時(shí)，t的值為

24

11

、

36

7

、

17

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形的中位線定理、勾股定理等知識(shí)，考查了用割補(bǔ)法求五邊形的面積，考查了用臨界值法求t的取值范圍，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．