Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l所在的直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，點(diǎn)B坐標(biāo)為（10，0）過(guò)B做BC⊥直線l，垂足為C，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1單位/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→原點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/s，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）OC=8，BC=6；
（2）當(dāng)t=5（s）時(shí)，試在直線PQ上確定一點(diǎn)M，使△BCM的周長(zhǎng)最小，并求出該最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△PBQ的面積為y，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得直線PQ上的點(diǎn)到O、C的距離相等，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得M點(diǎn)與P點(diǎn)重合，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，可得答案；
（3）根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系，可得OP，BQ，根據(jù)正弦函數(shù)，可得QH，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答 解：（1）∵直線l所在的直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，BC⊥直線l，
∴$\frac{BC}{OC}$=$\frac{3}{4}$．
又∵OB=10，BC=3x，OC=4x，
∴（3x）²+（4x）²=10²，
解得x=2，x=-2（舍），
OC=4x=8，BC=3x=6，
故答案為：8，6；
（2）如圖1：，
PQ是OC的垂直平分線，OB交PQ于P即M點(diǎn)與P點(diǎn)重合，
M與P點(diǎn)重合時(shí)△BCM的周長(zhǎng)最小，
周長(zhǎng)最小為=BM+PM+BC=OB+BC=10+6=16；
（3）①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，過(guò)Q作QH⊥OB垂足為H，如圖2：，
PB=10-t，BQ=2t，HQ=2t•sinB=2t•cos∠COB=2t×$\frac{OC}{OB}$=$\frac{8}{5}$t，
y=$\frac{1}{2}$PB•QH=$\frac{1}{2}$（10-t）$\frac{8}{5}$t=-$\frac{4}{5}$t²+8t；
②當(dāng)3＜t＜5時(shí)，過(guò)Q作QH⊥OB垂足為H，如圖3：，
PB=10-t，OQ=OC+BC-2t=14-2t，
QH=OQ•sin∠QOH=（14-2t）$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{5}$（14-2t）=$\frac{42}{5}$-$\frac{6}{5}$t，
y=$\frac{1}{2}$PB•QH=$\frac{1}{2}$（10-t）（$\frac{42}{5}$-$\frac{6}{5}$t）=$\frac{3}{5}$t²-$\frac{51}{5}$t+42，
綜上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{5}{t}^{2}+8t（0＜t≤3）}\\{\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{51}{5}t+42（3＜t＜5）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出M與P重合是解題關(guān)鍵；利用銳角三角函數(shù)得出QH的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．