Question

12．如圖1，在△ABC匯總，∠ACB=2∠B，射線AO平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l⊥AO于H，分別交射線AB、AC于點(diǎn)N、E．
（1）若∠BAC=90°，且當(dāng)M與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），請(qǐng)直接寫出線段BN與CD的數(shù)量關(guān)系；
（2）若∠BAC≠90°，且當(dāng)M與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖3），判斷（1）題的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由；
（3）在直線l隨點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究線段BN、CE、CD之間的等量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接ND，先由已知條件證明：DN=DC，再證明BN=DN即可；
（2）連結(jié)ND，易證AN=AC，易證∠B=∠BDN，可得BN=DN，即可解題；
（3）BN、CE、CD之間的等量關(guān)系要分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)．

解答 解：（1）證明：如圖2，連結(jié)ND，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直線l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是線段NC的中垂線
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（2）證明：如圖3，連結(jié)ND，
，∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直線l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是線段NC的中垂線
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（3）解：如圖4，BN、CE、CD之間的等量關(guān)系：
①過(guò)C作CG∥AB，CN′∥GN，
∴四邊形NN′CG是平行四邊形，
∴NN′=CG，
∴∠BNM=∠CGM，
∴∠ANM=∠CGE，∵∠ANM=∠E，
∴∠CGE=∠E，
∴CG=CE，
∴NN′=CE，
在△ANH與△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHE=90°}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴AN=AE，
由（1）證得：BN′=CD，
∴CD=BN+CE，
②當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)C作CG∥AB，CN′∥GN，
∴四邊形NN′CG是平行四邊形，
∴NN′=CG，
∴∠BNM=∠CGM，
∴∠ANM=∠CGE，
∵∠ANM=∠E，
∴∠CGE=∠E，
∴CG=CE，
∴NN′=CE，
在△ANH與△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHE=90°}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴AN=AE，
由（1）證得：BN′=CD，
∴CD=BN-CE；
③當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)C作CG∥AB，CN′∥GN，
∴四邊形NN′CG是平行四邊形，
∴NN′=CG，
∴∠BNM=∠CGM，
∴∠ANM=∠CGE，
∵∠ANM=∠E，
∴∠CGE=∠E，
∴CG=CE，
∴NN′=CE，
在△ANH與△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHE=90°}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴AN=AE，
由（1）證得：BN′=CD，
∴CD=CE-BN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)，本題中證得AH垂直平分NE是解題的關(guān)鍵．