Question

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，它的對(duì)稱軸為直線x=2，動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)A出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，連接OP并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)B，連結(jié)OA，AB．
（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)三點(diǎn)A，O，B構(gòu)成以為OB為斜邊的直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）將△PAB沿直線PB折疊后，那么點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A₁能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，且對(duì)稱軸為直線x=2，列出關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c的值，即可得到拋物線的解析式，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)B（x，-x²+4x）．在直角△AOB中，根據(jù)勾股定理得出OA²+AB²=OB²，據(jù)此列出方程2²+4²+（x-2）²+（-x²+4x-4）²=x²+（-x²+4x）²，解方程求出x的值，得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，

15

4

），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線OB的解析式為y=

3

2

x，將x=2代入，得到y(tǒng)=3，則AP=4-3=1，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷時(shí)間即可求出t的值；
（3）將△PAB沿直線PB折疊后，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A₁恰好落在坐標(biāo)軸上，可分三種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)A₁在x軸正半軸上；②點(diǎn)A₁在y軸負(fù)半軸上；③點(diǎn)A₁在x軸負(fù)半軸上．

解答：解：（1）由題意得

c=0 -b 2×(-1) =2

，
解得

b=4 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x； 
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）；

（2）如圖1，設(shè)B（x，-x²+4x）．
∵三點(diǎn)A，O，B構(gòu)成以為OB為斜邊的直角三角形，
∴OA²+AB²=OB²，
即2²+4²+（x-2）²+（-x²+4x-4）²=x²+（-x²+4x）²，
整理，得2x²-9x+10=0，
解得x₁=

5

2

，x₂=2（舍去），
∴B（

5

2

，

15

4

）．
設(shè)直線OB的解析式為y=kx，則

5

2

k=

15

4

，
解得k=

3

2

，
∴y=

3

2

x．
當(dāng)x=2時(shí)，y=3，
∴AP=4-3=1，
∴t=1÷1=1（秒）；

（3）分三種情況：
①若點(diǎn)A₁在x軸正半軸上，如圖2，
可得PD²+A₁D²=PA₁²，
即（4-t）²+（2

5

-2）²=t²，
解得t=5-

5

；   
②若點(diǎn)A₁在y軸負(fù)半軸上，如圖3，連結(jié)AA₁交OB于E．
可得OA₁=OA=2

5

，
∴∠OA₁A=∠OAA₁，
∵OA₁∥AP，
∴∠OA₁A=∠A₁AP，
∴∠OAA₁=∠A₁AP，
∵AA₁⊥OP，
∴∠OEA=∠PEA=90°．
在△OAE與△PAE中，

∠OAE=∠PAE AE=AE ∠OEA=∠PEA

，
∴△OAE≌△PAE（ASA），
∴OA=PA=2

5

，
∴t=2

5

；  
③若點(diǎn)A₁在x軸負(fù)半軸上，如圖4．
可得PD²+A₁D²=PA₁²，
即（t-4）²+（2

5

+2）²=t²，
解得t=5+

5

； 
綜上所述，所有滿足條件的t的值為（5-

5

）秒或2

5

秒或（5+

5

）秒．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．