【題目】如圖,二次函數(shù)y=+bx﹣的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0)和點(diǎn)B,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接DP,過(guò)點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.

(1)b= ;點(diǎn)D的坐標(biāo):

(2)線段AO上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)P不與A、O重合),使得OE的長(zhǎng)為1;

(3)在x軸負(fù)半軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使PED是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)1;(﹣3,4);(2)線段AO上不存在點(diǎn)P(點(diǎn)P不與A、O重合),使得OE的長(zhǎng)為1 (3).

【解析】

試題分析:(1)利用點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上,代入即可求得b,將二次函數(shù)換成交點(diǎn)式,即能得出B點(diǎn)的坐標(biāo),由AD=AB可算出D點(diǎn)坐標(biāo);

(2)假設(shè)存在,由DPAE,找出EPO=PDA,利用等角的正切相等,可得出一個(gè)關(guān)于OP長(zhǎng)度的一元二次方程,由方程無(wú)解可得知不存在這樣的點(diǎn);

(3)利用角和邊的關(guān)系,找到全等,再利用三角形相似,借助相似比即可求得AM,求出ADM的面積即是所求.

試題解析:(1)點(diǎn)A(﹣3,0)在二次函數(shù)y=+bx﹣的圖象上,

0=﹣3b﹣,解得b=1,

二次函數(shù)解析式為y=+x﹣=(x+3)(x﹣1),

點(diǎn)B(1,0),AB=1﹣(﹣3)=4,

四邊形ABCD為正方形,

AD=AB=4,

點(diǎn)D(﹣3,4),

故答案為:1;(﹣3,4).

(2)直線PE交y軸于點(diǎn)E,如圖1,

假設(shè)存在點(diǎn)P,使得OE的長(zhǎng)為1,設(shè)OP=a,則AP=3﹣a,

DPAE,APD+DPE+EPO=180°,

∴∠EPO=90°﹣APD=ADP,

tanADP==,tanEPO==,

=,即3a+4=0,

=﹣4×4=﹣7<0,無(wú)解,

故線段AO上不存在點(diǎn)P(點(diǎn)P不與A、O重合),使得OE的長(zhǎng)為1.

(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,DE交x軸于點(diǎn)M,如圖2,

∵△PED是等腰三角形,

DP=PE,

DPPE,四邊形ABCD為正方形

∴∠EPO+APD=90°,DAP=90°,PAD+APD=90°,

∴∠EPO=PDA,PEO=DPA,

PEO和DAP中,

EPO=PDA,DP=PE,PEO=DPA,

∴△PEO≌△DAP,

PO=DA=4,OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1,

點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣4,0).

DAx軸,

DAEO,

∴∠ADM=OEM(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

∵∠AMD=OME(對(duì)頂角),

∴△DAMEOM,

,

OM+MA=OA=3,

MA=×3=,

PED與正方形ABCD重疊部分ADM面積為×AD×AM=×4×=

答:存在這樣的點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,1),此時(shí)PED與正方形ABCD重疊部分的面積為

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