【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖1,連接AC、BC,若△ABC的面積為3時(shí),求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn),連接PC,若∠BCP=2∠ABC時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo);
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)F在AP上,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H點(diǎn),點(diǎn)K在PH的延長(zhǎng)線上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=﹣4 a,連接KB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q,求PQ的長(zhǎng).
【答案】
(1)
解:當(dāng)y=0時(shí),ax2﹣5ax+4a=0,解得x1=1,x2=4,則A(1,0),B(4,0),
∴AB=3,
∵△ABC的面積為3,
∴ 4OC=3,解得OC=2,則C(0,﹣2),
把C(0,﹣2)代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2,解得a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2
(2)
解:過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H,作CD⊥PH于點(diǎn)H,如圖2,設(shè)P(x,ax2﹣5ax+4a),則PD=4a﹣(ax2﹣5ax+4a)=﹣ax2+5ax,
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD,
∵∠BCP=2∠ABC,
∴∠PCD=∠ABC,
∴Rt△PCD∽R(shí)t△CBO,
∴PD:OC=CD:OB,
即(﹣ax2+5ax):(﹣4a)=x:4,解得x1=0,x2=6,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6
(3)
解:過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PK于點(diǎn)G,如圖3,
∵AK=FK,
∴∠KAF=∠KFA,
而∠KAF=∠KAH+∠PAH,∠KFA=∠PKF+∠KPF,
∵∠KAH=∠FKP,
∴∠HAP=∠KPA,
∴HA=HP,
∴△AHP為等腰直角三角形,
∵P(6,10a),
∴﹣10a=6﹣1,解得a=﹣ ,
在Rt△PFG中,∵PF=﹣4 a=2 ,∠FPG=45°,
∴FG=PG= PF=2,
在△AKH和△KFG中
,
∴△AKH≌△KFG,
∴KH=FG=2,
∴K(6,2),
設(shè)直線KB的解析式為y=mx+n,
把K(6,2),B(4,0)代入得 ,
解得 ,
∴直線KB的解析式為y=x﹣4,
當(dāng)a=﹣ 時(shí),拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2,
解方程組 ,
解得 或 ,
∴Q(﹣1,﹣5),
而P(6,﹣5),
∴PQ∥x 軸,
∴QP=7
【解析】(1)通過(guò)解方程ax2﹣5ax+4a=0可得到A(1,0),B(4,0),然后利用三角形面積公式求出OC得到C點(diǎn)坐標(biāo),再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式;(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H,作CD⊥PH于點(diǎn)H,如圖2,設(shè)P(x,ax2﹣5ax+4a),則PD=﹣ax2+5ax,通過(guò)證明Rt△PCD∽R(shí)t△CBO,利用相似比可得到(﹣ax2+5ax):(﹣4a)=x:4,然后解方程求出x即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo);(3)過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PK于點(diǎn)G,如圖3,先證明∠HAP=∠KPA得到HA=HP,由于P(6,10a),則可得到﹣10a=6﹣1,解得a=﹣ ,再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG=PG= PF=2,接著證明△AKH≌△KFG,得到KH=FG=2,則K(6,2),然后利用待定系數(shù)法求出直線KB的解析式為y=x﹣4,再通過(guò)解方程組 得到Q(﹣1,﹣5),利用P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷PQ∥x 軸,于是可得到QP=7.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過(guò)A(4,0),B(1,3)兩點(diǎn),點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出△ABC的面積;
(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,當(dāng)△ABP的面積為6時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)△CMN的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上.
(1)求證:BE=CE;
(2)如圖2,若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,且BF⊥AC,垂足為F,∠BAC=45°,原題設(shè)其它條件不變.求證:△AEF≌△BCF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,且EH=EB.下列四個(gè)結(jié)論:①∠ABC=45°;②AH=BC;③BE+CH=AE;④△AEC是等腰直角三角形.你認(rèn)為正確的序號(hào)是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D在邊AC上(點(diǎn)D不與點(diǎn)A,C重合),點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合),連接DE,以DE為邊作等邊△DEF,連接CF.
(1)如圖1,當(dāng)DE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交,且點(diǎn)C,F(xiàn)在直線DE的同側(cè)時(shí),過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB,DG交BC于點(diǎn)G,求證:CF=EG;
(2)如圖2,當(dāng)DE的反向延長(zhǎng)線與AB的反向延長(zhǎng)線相交,且點(diǎn)C,F(xiàn)在直線DE的同側(cè)時(shí),求證:CD=CE+CF;
(3)如圖3,當(dāng)DE的反向延長(zhǎng)線與線段AB相交,且點(diǎn)C,F(xiàn)在直線DE的異側(cè)時(shí),猜想CD、CE、CF之間的等量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(0,1),規(guī)定“平行四邊形ABCD先沿x軸翻折,再向左平移1個(gè)單位”為一次變換,則連續(xù)經(jīng)過(guò)2017次變換后,平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為( )
A.(﹣2017,2)
B.(﹣2017,﹣2)
C.(﹣2018,﹣2)
D.(﹣2018,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)三班為配合國(guó)家級(jí)衛(wèi)生城市創(chuàng)建驗(yàn)收,自愿組織參加環(huán)衛(wèi)整治活動(dòng),學(xué)校用兩張統(tǒng)計(jì)圖公布了該班學(xué)生參加本次活動(dòng)的情況.小明、小華、小麗三個(gè)同學(xué)看了這張統(tǒng)計(jì)圖后,小明說(shuō):“該班共有25名學(xué)生參加了本次活動(dòng)”小華說(shuō):“該班參加美化數(shù)目的學(xué)生占參加本次活動(dòng)人數(shù)的40%”小麗說(shuō):“該班有6名學(xué)生清掃道路.”小明、小華、小麗三人說(shuō)法正確的有( 。
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖①,△ABC、△AED是兩個(gè)全等的等腰直角三角形(其頂點(diǎn)B、E重合),∠BAC=∠AED=90°,O為BC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn),連接OF.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
①如圖①,線段OF與EC的數(shù)量關(guān)系為;
②將△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②,OF與EC的數(shù)量關(guān)系為;
(2)類比延伸
將圖①中△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置,請(qǐng)判斷線段OF與EC的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.
(3)拓展探究
將圖①中△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α,0°≤α≤90°,AD= ,△AED在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,存在△ACD為直角三角形,請(qǐng)直接寫出線段CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,點(diǎn)E是邊AB上的一點(diǎn),點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn),將平行四邊形ABCD沿EF折疊,得到四邊形EFGC,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,則△CEF的面積 .
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