如圖①,直角坐標(biāo)系中,等腰梯形OABC,AB∥OC,OA=BC,OC在x軸上,OC=7,點A的坐標(biāo)為(1,3).拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點.

(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式并判定點B是否在拋物線上;
(2)如圖②,若拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M,在該拋物線上點M和點C之間的曲線上確定點P,使S△CMP=S△OAM,求點P的坐標(biāo);
(3)若直線y=mx+n將等腰梯形OABC的周長和面積同時分成相等的兩部分,請你確定y=mx+n中m的取值范圍.
【答案】分析:(1)求出C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;
(2)過C作x軸的垂線,作ME⊥x軸,交直線CH于點H,作AN⊥y軸與N.PG⊥CH于點G.設(shè)出P的坐標(biāo),根據(jù)四邊形MENA的面積+△AON的面積=四邊形MHGP的面積+△PGC的面積.即可求得P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)直線y=mx+n將等腰梯形OABC的面積分成相等的兩部分,分得的兩部分可能是兩個梯形,或兩個三角形,再根據(jù)將等腰梯形OABC的周長平分,即可得到關(guān)于m的式子從而求解.
解答:解:(1)∵OC=7,
則C的坐標(biāo)是(7,0),
設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,
根據(jù)題意得:,
解得:,
則拋物線的解析式是:y=-x2+x;
∵OC=7,點A的坐標(biāo)為(1,3),等腰梯形OABC,AB∥OC,OA=BC,
∴點B的坐標(biāo)為(6,3),
當(dāng)x=6時,y=-×36+×6=3,
∴點B在拋物線上;

(2)過C作x軸的垂線,作ME⊥x軸,交直線CH于點H,作AN⊥y軸與N.PG⊥CH于點G.

拋物線的頂點M的坐標(biāo)是(
設(shè)S△CMP=S△OAM,則四邊形MENA的面積+△AON的面積=四邊形MHGP的面積+△PGC的面積.設(shè)P的橫坐標(biāo)是m,則縱坐標(biāo)是:-m2+m.
四邊形MENA的面積=(1+)(-3)=,△AON的面積=×1×3=;
同理:四邊形MHGP的面積=(7-m+)[-(-m2+m)],△PGC的面積等于:(7-m)×(-m2+m)
則:(7-m+)[-(-m2+m)]+(7-m)×(-m2+m)=+
解得:m=6或
則P的坐標(biāo)是:P1(6,3)P2,);

(3)m≥或m≤-
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法.在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以y軸上的點C為圓心,2為半徑的圓與x軸相切于原點O,點P在x軸的負半軸上,PA切⊙C于點A,AB為⊙C的直徑,PC交OA于點D.
(1)求證:PC⊥OA;
(2)若△APO為等邊三角形,求直線AB的解析式;
(3)若點P在x軸的負半軸上運動,原題的其他條件不變,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,0),四邊形POCA的面積為S,求S與點P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(4)當(dāng)點P在x軸的負半軸上運動時,原題的其他條件不變,分析并判斷是否存在這樣的一點精英家教網(wǎng)P,使S四邊形POCA=S△AOB?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請簡要說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)四邊形OABC是等腰梯形,OA∥BC.在建立如圖的平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(3,2),點M從O點以每秒2個單位的速度向終點A運動;同時點N從B點出發(fā)以每秒1個單位的速度向終點C運動,過點N作NP垂直于x軸于P點連接AC交NP于Q,連接MQ.
(1)寫出C點的坐標(biāo);
(2)若動點N運動t秒,求Q點的坐標(biāo);(用含t的式子表示)
(3)其△AMQ的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(4)當(dāng)t取何值時,△AMQ的面積最大;
(5)當(dāng)t為何值時,△AMQ為等腰三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y=6-x與雙曲線y=
4
x
(x>0)
的圖象相交于A、B,設(shè)點A的坐標(biāo)為(m,n),那么以m為長,n為寬的矩形的面積和周長分別為( 。
A、4,6B、4,12
C、8,6D、8,12

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•漳州質(zhì)檢)如圖是世界文化遺產(chǎn)“南靖土樓”最著名景點-田螺坑土樓群的俯視圖,它由1座方樓(步云樓O)、3座圓樓(瑞云樓A、和昌樓B、振昌樓D(未畫出))和1座橢圓形樓(文昌樓C)組成,方樓O居中,其余4座環(huán)繞其周圍.(注:每個小正方形的邊長為1個單位長度)
(1)在如圖建立的直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為
(7,0)
(7,0)
,點B的坐標(biāo)為
(4,4)
(4,4)
;
(2)瑞云樓A與振昌樓D的俯視圖完全相同,且它們關(guān)于原點O中心對稱,請用圓規(guī)畫出振昌樓D的俯視圖(畫完后,用黑色簽字筆重描).你認為圓樓A向左平移
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個單位長度后可得到圓樓D;
(3)仔細觀察這五座樓的俯視圖,請寫出每個圖案都具有的一個共同特征:
既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點,B(5,0),M為梯形OBCD底邊OB上的一點,OM<3,OD=BC=2,∠DMC=∠DOM=60°.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)求點M的坐標(biāo);
(3)∠DMC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)α(α為銳角)后,得到∠D1MC1,射線M D1交直線DC于點E,射線MC1交直線BC于點F,設(shè)DE=m,BF=n,求m與n的函數(shù)關(guān)系式.

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