Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．

(1)試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；

(2)當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

(3)若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在正方形中， 　　無論點運動到上何處時，都有 　　＝　∠＝∠　＝ 　　∴△≌△　2分 　　(2)解法一：△的面積恰好是正方形ABCD面積的時， 　　過點Q作⊥于，⊥于，則＝ 　　＝＝ 　　∴＝　4分 　　由△∽△得　　解得 　　∴時，△的面積是正方形面積的　6分 　　解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點作⊥軸于點，⊥軸于點． 　　＝＝　∴＝ 　　∵點在正方形對角線上　∴點的坐標為 　　∴過點(0，4)，(兩點的函數(shù)關(guān)系式為： 　　當時，　∴點的坐標為(2，0) 　　∴時，△的面積是正方形面積的．　6分 　　(3)若△是等腰三角形，則有＝或＝或＝ 　　①當點運動到與點重合時，由四邊形是正方形知＝ 　　此時△是等腰三角形 　�、诋旤c與點重合時，點與點也重合， 　　此時＝，△是等腰三角形　8分 　�、劢夥ㄒ唬喝鐖D，設(shè)點在邊上運動到時，有＝ 　　∵∥　∴∠＝∠ 　　又∵∠＝∠　∠＝∠ 　　∴∠＝∠ 　　∴＝＝ 　　∵＝　＝＝4 　　∴ 　　即當時，△是等腰三角形　10分 　　解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)點在上運動到時，有＝． 　　過點作⊥軸于點，⊥軸于點，則 　　在△中，，∠＝45° 　　∴＝°＝ 　　∴點的坐標為(，) 　　∴過、兩點的函數(shù)關(guān)系式：＋4 　　當＝4時，　∴點的坐標為(4，8－4)． 　　∴當點在上運動到時，△是等腰三角形．　10分