Question

如圖，已知AB=AC，AD=AE，DB與CE相交于O．
（1）若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，試判斷OE與OD的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若沒有第（1）中的條件，是否有這樣的結(jié)論？試說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）由AB=AC，AD=AE可得BE=CD，由DB⊥AC，CE⊥AB可得∠BEO=∠CDO=90°，于是可根據(jù)“AAS”判斷△BEO≌△CDO，所以O(shè)E=OD
（2）先利用“SAS”證明△ABD≌△ACE得到∠B=∠C，然后根據(jù)“AAS”判斷△BEO≌△CDO，所以O(shè)E=OD．

解答：解：（1）OE=OD．理由如下：
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD，
∵DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
在△BEO和△CDO中，

∠BOE=∠COD ∠BEO=∠CDO BE=CD

，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE=OD
（2）若沒有第（1）中的條件，仍然有OE=OD．理由如下：
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠A=∠A AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C，
在△BEO和△CDO中，

∠BOE=∠COD ∠B=∠C BE=CD

，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE=OD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．