Question

1．如圖，在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，有點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₀，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2015．分別過這些點(diǎn)作
x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S₁，
S₂，S₃，…，S₂₀₁₀，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{4030}{2016}$．

Answer 1

分析 求出P₁、P₂、P₃、P₄…的縱坐標(biāo)，從而可計(jì)算出S₁、S₂、S₃、S₄…的高，進(jìn)而求出S₁、S₂、S₃、S₄…，從而得出S₁+S₂+S₃+…+S_n的值．

解答 解：當(dāng)x=1時，P₁的縱坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=2時，P₂的縱坐標(biāo)1，
當(dāng)x=3時，P₃的縱坐標(biāo)$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x=4時，P₄的縱坐標(biāo)$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=5時，P₅的縱坐標(biāo)$\frac{2}{5}$，
…
則S₁=1×（2-1）=2-1；
S₂=1×（1-$\frac{2}{3}$）=1-$\frac{2}{3}$；
S₃=1×（$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$；
S₄=1×（$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{5}$）=$\frac{2}{4}$-$\frac{2}{5}$；
…
Sn=$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$；
S₁+S₂+S₃+…+S_n=2-1+1-$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{4}$-$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n}$=2-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{2n}{n+1}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{4030}{2016}$，
故答案為：$\frac{4030}{2016}$．

點(diǎn)評 此題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)坐標(biāo)求出個陰影的面積表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．