Question

如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF，PD．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,平行四邊形的性質(zhì),解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形和角平分線的性質(zhì)可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；
（2）作PH⊥AD于H，根據(jù)四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=

3

，DH=5，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分線，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∵AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，
∴AP=

1

2

AB=2，
∴PH=

3

，DH=5，
∴tan∠ADP=

PH

DH

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記菱形的幾個(gè)判定定理，難度不大．