【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)G為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Hx軸上一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)C、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí),求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo);

(3)設(shè)直線AE與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為P,M為直線AE上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)MMNPD交拋物線于點(diǎn)N,以P、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,請(qǐng)求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;(2)G(1,1),H(,0),四邊形CFHG的周長(zhǎng)最小值2+2;(3)M的坐標(biāo)為:M(0,1)或(,)或(,).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線上的兩點(diǎn)列方程組求拋物線y=﹣x2+bx+c中的系數(shù)bc,(2)根據(jù)題目的提示可以畫出簡(jiǎn)圖,然后表示出以點(diǎn)C、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng),在根據(jù)表示出的線段就可以求出最短的周長(zhǎng),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)G、H的坐標(biāo)也可得出;(3)根據(jù)題意可以分兩種情況討論,點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方或者下方,然后設(shè)出點(diǎn)M,根據(jù)題目給出的條件是否能將P、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形組成平行四邊形,可以根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等來(lái)入手.

(1)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)(3,0)和(2,3),

,

解得:,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;

(2)y=﹣x2+2x+3,

y=﹣(x﹣1)2+4,

∴對(duì)稱軸為x=1.

當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,

x1=﹣1,x2=3,

A(﹣1,0).

當(dāng)x=0時(shí),y=3,

C(0,3)

CE=2.OC=3

如圖,在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I,使得點(diǎn)F點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱,在x軸上取點(diǎn)H,連接HF、HI、HG、GC、GE、則HF=HI.

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1,

∴點(diǎn)C點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱,

CG=EG.

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,由題意,得

,

解得:,

∴直線AE的解析式為y=x+1.

當(dāng)x=0時(shí),y=1,

F(0,1),

OF=1,CF=2.

∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱,

I(0,﹣1),

OI=1,CI=4.

RtCIE中,由勾股定理,得

EI==2

∵要使四邊形CFHG的周長(zhǎng)最小,而CF是定值,

∴只要使CG+GH+HF最小即可.

CG+GH+HF=EG+GH+HI,

∴只有當(dāng)EI為一條直線時(shí),EG+GH+HI最。

設(shè)EI的解析式為y=k1x+b1,由題意,得

,

解得:,

∴直線EI的解析式為:y=2x﹣1,

∵當(dāng)x=1時(shí),y=1,

G(1,1).

∵當(dāng)y=0時(shí),x,

H(,0),

∴四邊形CFHG的周長(zhǎng)最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2;

(3)y=﹣x2+2x+3,

y=﹣(x﹣1)2+4,

D(1,4)

∴直線AE的解析式為y=x+1.

x=1時(shí),y=2,

P(1,2),

PD=2.

∵四邊形DPMN是平行四邊形,

PD=MN=2.

∵點(diǎn)MAE上,設(shè)M(x,x+1),

①當(dāng)點(diǎn)M在線段AE上時(shí),點(diǎn)N點(diǎn)M的上方,則N(x,x+3),

N點(diǎn)在拋物線上,

x+3=﹣x2+2x+3,

解得:x=0x=1(舍去)

M(0,1).

②當(dāng)點(diǎn)M在線段AEEA的延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)NM的下方,則N(x,x﹣1).

N點(diǎn)在拋物線上,

x﹣1=﹣x2+2x+3,

解得:x=x=,

M(,)或(,).

M的坐標(biāo)為:M(0,1)或(,)或(,).

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