Question

20．如圖，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，E是AB上一點(diǎn)，且BC=AE，∠1=∠2，則：
（1）求證：Rt△ADE≌Rt△BEC．
（2）△DEC是不是等腰直角三角形？說明理由．
（3）若DC=10，P為DC的中點(diǎn)，求PE的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）利用“HL”證明Rt△ADE≌Rt△BEC．
（2）△DEC是等腰直角三角形，證明∠DEC=90°，即可解答；
（3）利用在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，即可解答．

解答 解：（1）∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△DAE和Rt△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{AE=BC}\end{array}\right.$
∴Rt△DAE≌Rt△EBC．
（2）△DEC是等腰直角三角形，
∵Rt△DAE≌Rt△EBC．
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠DEC=180°-（∠BEC+∠AED）=90°，
∵∠1=∠2，
∴DE=CD，
∴△DEC是等腰直角三角形．
（3）如圖，

∵△DEC是等腰直角三角形．CD=10，P是CD的中點(diǎn)，
∴PE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×10$=5（在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是證明Rt△ADE≌Rt△BEC．