Question

如圖1，拋物線y=ax²-10ax+8與x軸交于A、C兩點，與y 軸交于點B，且C點的坐標(biāo)為（2，0）
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）如圖，設(shè)點D是線段OA上的一個動點，過點D作DE⊥x軸交AB于點E，過點E作EF⊥y軸，垂足為F．記OD=x，矩形ODEF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時點D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸與AB交于點P（如圖2），點Q是拋物線上的一個動點，點R是x軸上的一個動點．請求出當(dāng)以P、Q、R、A為頂點的四邊形是平行四邊形時，點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意易得對稱軸的方程，又有AB∥x軸，結(jié)合對稱軸的性質(zhì)，可得AB=10，故在Rt△AOC中，由勾股定理易得答案；
（2）根據(jù)題意將△PAC的周長用PC+PA表示出來，由拋物線的對稱性分析可得P即為BC直線x=5的交點；由此設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，將A（8，0），B（0，8）代入可得k，b的值，進(jìn)而可得其解析式；
（3）假設(shè)存在，在Rt△MOC與Rt△PBE中，根據(jù)勾股定理，結(jié)合MP∥BC分析可得答案．
解答：解：（1）∵y=ax²-10ax+8，
∴拋物線的對稱軸為：x=-=-=5，
令x=0，得到y(tǒng)=8，
∴點B的坐標(biāo)為（0，8），
∵點C坐標(biāo)為：（2，0），
∵點A與點C關(guān)于對稱軸x=5對稱，
∴點A坐標(biāo)為：（8，0），
將C（2，0）代入y=ax²-10ax+8得：4a-20a+8=0，
∴a=，
則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-5x+8；

（2）∵A（8，0），B（0，8），
∴設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A和B坐標(biāo)代入得：'
解得：，
∴直線AB解析式為y=-x+8，
由OD=x，即E橫坐標(biāo)為x，
代入直線AB解析式得：y=-x+8，即ED=-x+8，
則矩形的面積S=x（-x+8）=-x²+8x，0＜x＜8，
當(dāng)x=-=4，即D（4，0）時，S有最大值，最大值為16；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

存在符合條件的點Q和R，使以P，R，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形，
若Q在對稱軸右邊，把x=5代入直線AB解析式，解得y=3，即Q縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入拋物線解析式得：3=x²-5x+8 解得：x=5±，
當(dāng)Q的縱坐標(biāo)為-3，還有點（5±，-3）
即 Q的坐標(biāo)為：（5+，3）（5-，3）或（5+，-3）（5-，-3）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題是解題的關(guān)鍵．