Question

【題目】閱讀材料．

我們知道，1+2+3+…+n=，那么12+22+32+…+n2結(jié)果等于多少呢？

在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個圓圈中數(shù)的和為n+n+n+…+n，即n2．這樣，該三角形數(shù)陣中共有個圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…+n2．

（規(guī)律探究）

將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為　 　，由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）=　 　，因此，12+22+32+…+n2=　 　．

（解決問題）

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計算：的結(jié)果為　 　．

Answer 1

【答案】2n+1，，；7.

【解析】

根據(jù)圖1和圖2，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，利用此規(guī)律確定出所求即可．

解：【規(guī)律探究】

將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均2n+1；由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）=；因此，12+22+32+…+n2=；

【解決問題】

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計算：：的結(jié)果為7．

故答案為：2n+1；；.