Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），以O(shè)A為邊作等邊三角形OAB，點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C，動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿OC向C點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向A點(diǎn)運(yùn)動．P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，P的速度是2個單位/秒，Q的速度是1個單位/秒．當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．
（1）求線段BC的長：
（2）如圖2，連接PQ交線段OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交BC于點(diǎn)F，設(shè)線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將△BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BE′F′．使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′落在線段AB上，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F′，E′F′交x軸于點(diǎn)G．當(dāng)QE′+GE′=3時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出EF=EB，過點(diǎn)Q作QR∥PO，由相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{RE}{EO}$=$\frac{RO}{PO}$，故可用t表示出RO與RE的長，根據(jù)m=BR+RE即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知QE′=BE′-BQ，GE′=AE′=AB-BE′，再由QE′+GE′=3即可得出t的值．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=4，∠OAB=60°，
∴tan∠OAB=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$；

（2）∵∠BOA=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°．
∵∠ABO=60°，
∴∠OBC=30°．
∵EF∥x軸，
∴∠BFE=∠ACB=∠OBC=30°，
∴EF=EB．
如圖1，過點(diǎn)Q作QR∥PO，則∠RQE=∠OPE，
∵∠REQ=∠OEP，
∴△RQE∽△OPE，
∴$\frac{RE}{EO}$=$\frac{RO}{PO}$=$\frac{t}{2t}$=$\frac{1}{2}$，
∴RE=$\frac{1}{3}$RQ．
∵RO=4-t，
∴RE=$\frac{1}{3}$（4-t），
∴m=BR+RE=t+$\frac{4}{3}$-$\frac{t}{3}$=$\frac{2}{3}$t+$\frac{4}{3}$（0＜t＜2）．

（3）如圖2，QB=t，QE′=BE′-BQ=m-t=$\frac{2}{3}$t+$\frac{4}{3}$-t=-$\frac{1}{3}$t+$\frac{4}{3}$，GE′=AE′=AB-BE′=4-m=4-$\frac{2}{3}$t-$\frac{4}{3}$=-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$，
當(dāng)QE′+GE′=3時，-$\frac{1}{3}$t+$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$=3，解得t=1．

點(diǎn)評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)等知識，在解答（2）時，作出平行線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．