Question

12．如圖，AB是⊙O直徑，∠DAC=∠BAC，CD⊥AD，交AB延長線于點P，
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，PB=2，求⊙O半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質和∠DAC=∠BAC，得出∠DAC=∠OCA，判定OC∥AD，得出∠OCP=90°，即可證得結論；
（2）連接BC，證得△PBC∽△CPA，根據(jù)相似三角形的性質得出$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CB}{AC}$=$\frac{PB}{PC}$，根據(jù)tan∠BAC=$\frac{1}{2}$得出PC²=PB•PA，PA=2PC，進一步求得PC=4，設⊙O半徑為x，則OP=x+2，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得．

解答 （1）證明：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，又∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，又CD⊥AD，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接BC，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠BPC=∠CPA，
∴△PBC∽△CPA，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CB}{AC}$=$\frac{PB}{PC}$，
∵tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC²=PB•PA，PA=2PC，
∴PC²=2PB•PC，PC=2PB=4，
設⊙O半徑為x，則OP=x+2，
在RT△OPC中，OP²=OC²+PC²，即（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，
∴⊙O半徑為3．

點評 本題考查了切線的判定和性質三角形相似的判定和性質以及勾股定理的應用，作出輔助線構建相似三角形是解題的關鍵．