如圖1,已知點A(0,4
3
)x軸正半軸上,且∠ABO=30°,動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運動,設運動時間為t秒,在x軸上取兩點M、N作等邊△PMN.

(1)求直線AB的解析式;
(2)求等邊△PMN的邊長(用t的代數(shù)式表示),并求出當頂點M運動到與原點O重合時t的值;
(3)如圖2,如果取OB的中點D,以OD為邊在Rt△AOB內(nèi)部作矩形ODCE,點C在線段AB上,從點P開始運動到點M與原點O重合這一過程中,設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S,請求出S與t的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍.
分析:(1)已知點A的坐標知道OA的長度,在直角三角形中根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB,根據(jù)勾股定理求出OB,從而求出B的坐標,最后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式.
(2)由(1)已經(jīng)求出AB的長,可以表示出BP的長,題目也告訴了∠ABO的度數(shù),利用三角函數(shù)值就可以表示出MP長度,當M到達O點利用30°的直角三角形的特殊關系求出OP,利用勾股定理就可以求出AP,從而求出時間t.
(3)當點M與原點O重合時,點N與點D也是重合的,這時以PM是否過點E為分點分別計算重合部分的面積.將重合部分的面積用含t的式子表示出來就可以了.
解答:解:(1)∵A(0,4
3

∴OA=4
3
,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
∴tan∠ABO=
OA
OB
,即tan30°=
4
3
OB
=
3
3
,
∴BO=12,
∴B(12,0)
設直線AB的解析式為:y=kx+b,由題意得:
b=4
3
12k+b=0
,
解得:
b=4
3
k=-
3
3

故直線AB的解析式為:y=-
3
3
x+4
3
;

(2)∵△PMN為等邊三角形,
∴∠PMO=60°,
∵∠ABO=30°,
∴∠PMO+∠ABO=90°,
∴∠MPB=90°,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=30°,
∴AB=2AO=8
3

∴BP=AB-AP=8
3
-
3
t,
在Rt△MPB中,∠MPB=90°,tan∠ABO=
MP
BP
,
即tan30°=
MP
8
3
-
3
t
=
3
3
,
∴MP=8-t,
當M與O重合時,在Rt△PBO中,∠ABO=30°,∠BPO=90°,
∴MP=
1
2
OB=6,即8-t=6,
∴t=2;

(3)M與O點重合時PM=MN=6,此時N點與D點重合,如圖2,
當PM過點E時,∠PMB=60°,∠MBA=30°,
∴∠MBA=∠ACE=30°,
∴∠EAP=60°,
∴∠AEP=30°,
∴AP=
1
2
AE=
3

此時t=1;
當0≤t≤1時,設PN交EC于F,過F作FG⊥OB于G,F(xiàn)G=OE=2
3
,
∵∠PNM=60°,
∴GN=
FG
tan60°
=2,
∵PM=8-t,
∴BM=2PM=16-2t,
∴MO=BM-BO=4-2t,ON=MN-MO=t+4,EF=OG=ON-GN=t+2,
∴S=
1
2
×2
3
×(t+2+t+4)
=2
3
t+6
3
,
當0<t≤2時,設PM、PN交EC于H、F,S=S梯形EONF-S△EHI
由(2)知:MO=4-2t,IO=
3
MO=4
3
-2
3
t,
∴EI=EO-IO=2
3
t-2
3
,EH=
3
3
EI=2t-2,
∴S△EHI=
1
2
×(2t-2)×(2
3
t-2
3
)=2
3
t2-4
3
t+2
3
,
∴S=2
3
t+6
3
-2
3
t2+4
3
t-2
3
=-2
3
t2+6
3
t+4
3
點評:本題考查了一次函數(shù)的綜合試題,考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,勾股定理的運用,三角函數(shù)的運用以及圖形的面積公式,數(shù)學中的動點問題.此題難度較大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應用.
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如圖1,已知點A(0,4
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個單位的速度運動,設運動時間為t秒,在x軸上取兩點M、N作等邊△PMN.
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(1)求直線AB的解析式;
(2)求等邊△PMN的邊長(用t的代數(shù)式表示),并求出當頂點M運動到與原點O重合時t的值;
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