Question

8．在△ABC中，AB=AC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE．（點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E）．
（1）如圖1，若BD∥AC，連接CD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，若tan∠C=$\frac{4}{3}$，AB=5，連接CE，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=BD，從而得到AC=BD，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可知四邊形ABDC為平行四邊形，然后由AB=AC可知四邊形ABDC為菱形；
（2）過A作AF⊥BC于F，過E作EH⊥BC于H．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知CF=BF，由tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$．可求得AF=4，CF=BF=3，從而得到BC=BF+CF=6．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．由銳角三角函數(shù)的定義可求得BH和EH的長，由CH=BC-BH可求得HC=$\frac{12}{5}$．最后在CH中由勾股定理可求得CE的長．

解答 解：（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=BD，AB=AC，
∴AC=BD．
又∵AC∥BD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形．
又∵AB=AC，
∴四邊形ABDC為菱形．
（2）如圖所示：過A作AF⊥BC于F，過E作EH⊥BC于H，連接CE．

∵AC=AB=5
∴∠ACB=∠ABC
∵AF⊥BC
∴CF=BF．
在Rt△AFC中，tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$．
設(shè)AF=4a，CF=3a
∴在Rt△AFC中，AC=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=5a=5．
∴a=1．
∴AF=4，CF=BF=3a=3
∴BC=BF+CF=6．
在Rt△AFC中，sin∠ACB=$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{5}$，cos∠ACB=$\frac{CF}{AC}=\frac{3}{5}$．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．
∴sin∠DBE=$\frac{4}{5}$，cos∠DBE=$\frac{3}{5}$．
∵EH⊥BC，
∴在Rt△BHE中，EH=BE•sin∠DBE=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，BH=BE•cos∠DBE=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴CH=BC-BH=$\frac{12}{5}$．
∴在Rt△CHE中，CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、平行四邊形、菱形的判定，銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)，求得HE、CH的長是解題的關(guān)鍵．