Question

（1）閱讀證明
①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．
②如圖2，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的

BC

上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．
（2）知識(shí)遷移
根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：
第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

BC

上取一點(diǎn)P₀，連接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+

P₀D

；
第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，線段

AD

的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．
（3）知識(shí)應(yīng)用
已知三村莊A，B，C構(gòu)成了如圖4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使水井P到三村莊A，B，C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最�。�求輸水管總長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知首先得出△PCE為等邊三角形，進(jìn)而得出△ACP≌△BCE（SAS）即AP=BE=BP+PE=BP+PC；
（2）利用（1）中結(jié)論得出P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；以及線段的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間線段最短”容易獲解；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上先畫(huà)出圖形，再利用勾股定理求解．

解答：解：（1）如圖2，延長(zhǎng)BP至E，使PE=PC．
∵在等邊△ABC中，
∴∠EPC=∠BAC=60°，
∵PC=PE，
∴△PCE為等邊三角形，
∴PC=PE，∠PCE=60°，
∴∠BCP+∠PCE=∠ACB+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCE，
∵在△ACP和△BCE中，

BC=AC ∠BCE=∠ACP CE=PC

，
∴△ACP≌△BCE（SAS）．
∴AP=BE=BP+PE=BP+PC；

（2）由（1）得出：第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

BC

上取一點(diǎn)P₀，連接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；
第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，線段AD的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．

（3）如圖4，以BC為邊在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD．
∴AD的長(zhǎng)就是△ABC的費(fèi)馬距離．
可得∠ABD=90°
∴AD=

AB2+BD2

=5（km）．
∴輸水管總長(zhǎng)度的最小值為5千米．
故答案為：P₀D；AD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形等知識(shí)．難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研問(wèn)題和探索問(wèn)題的精神．