Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，點(diǎn)D是邊AB上的動點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)D作DE⊥AB交射線AC于E，連接BE，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，連接CD、CF、DF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合）時，設(shè)AD=x，CE=y．
①直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
②求證：△CDF是等邊三角形；
（2）如果BE=2

7

，請直接寫出AD的長．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AE=2AD，然后再根據(jù)AC=3進(jìn)行解答即可；
②先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CF=DF=

1

2

BE，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得到∠DFC=2∠ABC=60°，然后即可證明是等邊三角形；
（2）先求出BC的長度，在△BEC中，再利用勾股定理求出CE=1，再分點(diǎn)E在AC上與在射線AC上兩種情況求解．

解答：解：（1）①∵∠A=60°，DE⊥AB，
∴∠AED=90°-60°=30°，
∴AE=2AD=2x，
又AC=AE+CE，
即3=2x+y，
∴y=-2x+3；定義域：0＜x＜

3

2

；…（2分）
②證明：在Rt△ECB和Rt△EDB中，∠ECB=∠EDB=90°．
∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，
∴CF=DF=

1

2

BE=BF．…（1分）
∴∠FCB=∠CBF，∠FDB=∠DBF．…（1分）
∴∠CFE=2∠CBF，∠DFE=2∠DBF．
∴∠CFE+∠DFE=2（∠CBF+∠DBF）．
即∠CFD=2∠CBA．…（1分）
∵∠A=60°，∴∠ABC=90°-60°=30°．
∴∠CFD=60°．…（1分）
∴△CDF是等邊三角形．…（1分）

（2）∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，
∴BC=3tan60°=3

3

，
在Rt△BCE中，CE=

BE2-BC2

=

(2 7 )2-(3 3 )2

=1，
當(dāng)點(diǎn)E在AC上時，AD=

1

2

AE=

1

2

（3-1）=1，
當(dāng)點(diǎn)E在射線AC上時，AD=

1

2

AE=

1

2

（3+1）=2，
∴AD的長是1或2．  …（一解正確得2分；兩解正確得3分）

點(diǎn)評：本題主要考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，只要仔細(xì)分析也不難解決．