Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）連接AB、AC，點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P位于對(duì)稱軸右側(cè)，
過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)E，分別交x、y軸于點(diǎn)D、H，過點(diǎn)P作PG∥AB交AC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)P（x，y），線段DG的長為d，求d與x之間的函數(shù)關(guān)系（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)$\frac{{{S_{△PEF}}}}{{{S_{△PDF}}}}=\frac{3}{8}$時(shí)，連接AP并延長至點(diǎn)M，連接HM交AC于點(diǎn)S，點(diǎn)R是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ARS為等腰直角三角形時(shí)．求點(diǎn)R的坐標(biāo)和線段AM的長．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入求得y=4，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），由OA=OC=4OB可求得C（4，0），B（-1，0），然后將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a=-1，b=3；
（2）作PK⊥x軸于點(diǎn)K．由題意可知△AOC為等腰直角三角形，于是得到∠ACO=45°，由AC⊥PD可證明∠EDC=45°，從而得到△PDK為等腰直角三角形，故此PK=DK=y，由AB∥PG可知∠ABO=∠PGK，由銳角三角函數(shù)的定義可知$\frac{AO}{OB}$=$\frac{PK}{GK}$=4，從而得到GK=$\frac{1}{4}$PK=$\frac{1}{4}$y，由d=DK-GK可求得d=$-\frac{3}{4}{x^2}+\frac{9}{4}x+3$；
（3）如圖2所示：過點(diǎn)P作PK⊥x軸，垂足為K，PK交于AC與N．由題意可知：$\frac{PE}{PD}=\frac{3}{8}$，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由△NKC為等腰直角三角形可知CK=NK=4-x，由PN=PK-KN可知PN=y-4+x，由△PEN為等腰三角三角形可知PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}PN$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）$，由△PBK為等腰直角三角形可知PD=$\sqrt{2}PK$=$\sqrt{2}y$，從而可得到$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）}}{{\sqrt{2}y}}=\frac{3}{8}$，$\frac{y-4+x}{2y}=\frac{3}{8}$，將y=-x²+3x+4代入得：$\frac{-{x}^{2}+4x}{2（-{x}^{2}+3x+4）}=\frac{3}{8}$．解得：x₁=3，x₂=4（舍去）于是可求得P（3，4），從而得打D（-1，0），故此點(diǎn)D、B重合，由△BOH為等腰直角三角形，可求得AH=3．如圖3所示：∠RAS=90°時(shí)．設(shè)點(diǎn)R（a，-a²+3a+4）由△ARS為等腰直角三角形，可證明RS⊥AM，從而得到AL=LS，AL=LR，故此a=-a²+3a+4-4可求得R（2，6）．由銳角三角函數(shù)的定義可知：$\frac{LS}{LM}$=$\frac{AH}{AM}$，從而得到$\frac{2}{LM}=\frac{3}{2+LM}$，解得LM=4，于是可求得AM=6；當(dāng)∠ARS=90°和∠ASR=90°時(shí)，△ARS不能構(gòu)成等腰直角三角形，故此AM的長為6．

解答 解：（1）y=ax²+bx+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴A（0，4）
∵OC=OA=4OB，
∴OC=4，OB=1，
∴C（4，0），B（-1，0）
將C（4，0），B（-1，0）代入拋物線y=ax²+bx+4
得：$\left\{{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{a-b+4=0}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}}\right.$
∴a=-1 b=3．
（2）如圖1，作PK⊥x軸于點(diǎn)K．

∵a=-1 b=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∵AC⊥PD，
∴∠EDC=45°，
∵PK⊥x軸，
∴△PDK為等腰直角三角形，
∴PK=DK=y，
∵AB∥PG，
∴∠ABO=∠PGK，
∵tan∠ABO=$\frac{AO}{OB}$=4，
∴tan∠PGK=$\frac{PK}{GK}$=4
∴GK=$\frac{1}{4}$PK=$\frac{1}{4}$y
∴d=DK-GK=y-$\frac{1}{4}$y=$\frac{3}{4}$y，
將y=-x²+3x+4代入得：d=$\frac{3}{4}$（-x²+3x+4）=$-\frac{3}{4}{x^2}+\frac{9}{4}x+3$．
（3）如圖2所示：過點(diǎn)P作PK⊥x軸，垂足為K，PK交于AC與N．

∵$\frac{{{S_{△PEF}}}}{{{S_{△PDF}}}}=\frac{3}{8}$
∴$\frac{PE}{PD}=\frac{3}{8}$．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
∵CK=NK=4-x
∴PN=y-4+x
∴PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}PN$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）$，PD=$\sqrt{2}PK$=$\sqrt{2}y$
∴$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）}}{{\sqrt{2}y}}=\frac{3}{8}$，$\frac{y-4+x}{2y}=\frac{3}{8}$．
將y=-x²+3x+4代入得：$\frac{-{x}^{2}+4x}{2（-{x}^{2}+3x+4）}=\frac{3}{8}$．
整理得：x²-7x+12=0．
解得：x₁=3，x₂=4（舍去）．
∴P（3，4）
∵DK=PK=4，
∴D（-1，0）．
∴點(diǎn)D、B重合．
∵△BOH為等腰直角三角形，
∴OH=OB=1．
∴AH=3．
如圖3所示：∠RAS=90°時(shí)．

設(shè)點(diǎn)R（a，-a²+3a+4）
∵△ARS為等腰直角三角形
∴∠RAS=90°，∠ARS=45°
∵AP∥x軸
∴∠PAC=∠ACO=45°．
∴∠RAP=45°．
∴RS⊥AM．
∴AL=LS，AL=LR．
∴a=-a²+3a+4-4．
∴a=2．
∴R（2，6）．
在Rt△LMS中tan∠M=$\frac{LS}{LM}$，在Rt△AHM中tan∠M=$\frac{AH}{AM}$
∴$\frac{LS}{LM}$=$\frac{AH}{AM}$．
∴$\frac{2}{LM}=\frac{3}{2+LM}$
∴LM=4
∴AM=6．
當(dāng)∠ARS=90°和∠ASR=90°時(shí)，△ARS不能構(gòu)成等腰直角三角形．
綜上所述，AM的長為6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)值、銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x和LM的方程是解題的關(guān)鍵．