Question

11．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作AC的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：BD=BE；
（2）若BE=10，CE=6，連接OE，求tan∠OED的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，對邊平行可得AB∥CD，再求出四邊形ABEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證；
（2）如圖，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，欲求tan∠OED的值，只需在直角△OEF中求得OF、FE的值即可．OF結(jié)合三角形中位線求得，EF結(jié)合矩形、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理求得即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE，
∴BD=BE；

（2）如圖，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°．
∵BE=BD=10，
∴CD=CE=6．
同理，可得CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴EF=9．
在直角△BCE中，由勾股定理可得：BC=8．
∵OB=OD，
∴OF為△BCD的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴在直角△OEF中，tan∠OED=$\frac{OF}{EF}$=$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出四邊形ABEC是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．