Question

1．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連接OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值；
（3）若ED=4，EA=2求直徑AB的長．

Answer 1

分析 （1）首選連接OD，易證得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的對應(yīng)角相等，求得∠CDO=90°，即可證得直線CD是⊙O的切線；
（2）由△COD≌△COB可得CD=CB，即可得DE=2CD，易證得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AD：OC的值；
（3）根據(jù)切割線定理得出EB，即可求得AB的長．

解答 （1）證明：連結(jié)DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{∠COD=∠COB}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COB（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{2}{3}$．

（3）∵CD是⊙O的切線，
∴ED²=EA•EB，
∵ED=4，EA=2，
∴4²=2EB，
∴EB=8，
∴AB=EB-EA=8-2=6．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．