Question

3．如圖：一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A（2，m）、B（-1，-4）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出，當(dāng)x為何值時，ax+b＞$\frac{k}{x}$．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k的值，也就求出了反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）先求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而y軸把△AOB分成兩個三角形，結(jié)合點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別求出兩個三角形的面積，相加即可；
（3）找出直線在反比例函數(shù)圖形的上方的自變量x的取值即可．

解答 解：（1）B（-1，-4）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=（-1）×（-4）=4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{4}{x}$，
∵點(diǎn)A（2，m）也在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴m=$\frac{4}{2}$=2，
即A（2，2），
把點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B（-1，-4）代入一次函數(shù)y=ax+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=2}\\{-a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-2；
故反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，一次函數(shù)得到解析式為y=2x-2；

（2）在y=2x-2中，當(dāng)x=0時，得y=-2，
∴直線y=2x-2與y軸的交點(diǎn)為C（0，-2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×1=3；

（3）當(dāng)-1＜x＜0或x＞2時，ax+b＞$\frac{k}{x}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，此類題目的求解一般都是先把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出反比例函數(shù)解析式，然后再求一次函數(shù)解析式，難度中等．