Question

【題目】小宇將兩張長(zhǎng)為8寬為2的矩形條交叉如圖①，發(fā)現(xiàn)重疊部分可能是一個(gè)菱形．

（1）請(qǐng)你幫助小宇證明四邊形ABCD是菱形．

（2）小宇又發(fā)現(xiàn)：如圖②時(shí)，菱形ABCD的周長(zhǎng)最小，等于　 　；

（3）如圖③時(shí)菱形ABCD的周長(zhǎng)最大，求此時(shí)菱形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8；（3）17

【解析】

（1）首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形；

（2）根據(jù)垂線段最短，當(dāng)兩紙條垂直放置時(shí)，菱形的周長(zhǎng)最小，邊長(zhǎng)等于紙條的寬度；

（3）當(dāng)菱形的一條對(duì)角線為矩形的對(duì)角線時(shí)，周長(zhǎng)最大，作出圖形，設(shè)邊長(zhǎng)為x，表示出CE＝8﹣x，再利用勾股定理列式計(jì)算求出x，然后根據(jù)菱形的四條邊都相等列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

（1）證明：如圖①，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∵兩條紙條寬度相同（對(duì)邊平行），

∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵SABCD＝BCAE＝CDAF，

又∵AE＝AF，

∴BC＝CD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）如圖②，當(dāng)兩紙條互相垂直時(shí)，菱形的周長(zhǎng)最小，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)等于紙條的寬，為2，

所以，菱形的周長(zhǎng)＝4×2＝8．

故答案是：8；

（3）如圖③，菱形的一條對(duì)角線與矩形的對(duì)角線重合時(shí)，周長(zhǎng)最大，

設(shè)AB＝BC＝x，則CE＝8﹣x，

在Rt△DCE中，DC2＝DE2+CE2，

即x2＝（8﹣x）2+22，

解得x＝，

所以，菱形的周長(zhǎng)＝4×＝17．