Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E、F的坐標；
（2）若P在坐標軸上，且以點E、F、C、P為頂點的四邊形是梯形，求點P的坐標；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）如圖1所示，當點P在y軸上時，
∵EF與OC不可能平行，
∴PE∥CF，
∵E（3，1），
∴P（0，1）；
當點P在x軸上時，如圖2所示，
∵CF∥x軸，點E（3，1），
∴EF∥PC，
設(shè)P（n，0），直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵E（3，1），F(xiàn)（1，2），
∴，解得，
∴直線EF的解析式為y=-x+，
∴設(shè)直線PC的解析式為y=-x+a，
∵C（0，2），
∴a=2，
∴直線PC的解析式為y=-x+2，
把P（n，0），代入得，-n+2=0，解得n=4，
∴P（4，0）．
綜上所述，P（0，1）或（4，0）；

（3）存在點M，N，使得四邊形MNFE的周長最�。�
如圖3，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，
連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′==5．
又∵EF=，
∴FN+MN+ME+EF=5+，
此時四邊形MNFE的周長最小值是5+．
分析：（1）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．
（2）由于P點位置不能確定，故應分點P在x軸上與y軸上兩種情況進行討論；
（3）作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離的問題．